フェンチェルの定理

フェンチェルの定理

タイプ	定理
分野	微分幾何学
声明	滑らかな閉空間曲線は絶対全曲率 を持ち、それが凸平面曲線であるときのみ等しくなる。${\displaystyle \geq 2\pi}$
最初に述べたのは	ヴェルナー・フェンチェル
最初の証明	1929

微分幾何学において、フェンチェルの定理は、閉じた滑らかな空間曲線の全絶対曲率に関する不等式であり、常に 未満であることを述べています。同様に、平均曲率は 未満であり、 は曲線の長さです。このタイプの曲線のうち、全絶対曲率が に等しく、平均曲率が に等しいのは、平面凸曲線のみです。この定理は、1929 年にこれを発表したヴェルナー フェンチェルにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi /L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi /L}$

フェンシェルの定理は、ファリー・ミルノールの定理によって強化され、閉じた滑らかな単純空間曲線が非自明に結び目を持つ場合、全体の絶対曲率は4πよりも大きくなるとしています。

単位速度の滑らかな閉じた曲線が与えられた場合、速度も滑らかな閉じた曲線になります（接線指示曲線と呼ばれます）。絶対曲率の合計はその長さです。 ${\displaystyle \alpha :[0,L]\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \gamma ={\dot {\alpha}}:[0,L]\to \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle l(\gamma )}$

曲線は開いた半球面上にありません。もしそうなら、となるような が存在するので、矛盾が生じます。これはまた、が閉じた半球面上にあるなら となり、平面曲線も となることも示しています。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle v\in \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \gamma \cdot v>0}$${\displaystyle \textstyle 0=(\alpha (1)-\alpha (0))\cdot v=\int _{0}^{L}\gamma (t)\cdot v\,\mathrm {d} t>0}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma \cdot v\equiv 0}$${\displaystyle \alpha}$

曲線と が同じ長さである点を考えます。球を回転させることにより、 と が極を通る軸について対称であると想定できます。前の段落により、2 つの曲線 と の少なくとも 1 つは、ある点で赤道と交差します。この曲線を と表記します。すると となります。 ${\displaystyle \gamma (T)}$${\displaystyle \gamma ([0,T])}$${\displaystyle \gamma ([T,L])}$${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (T)}$${\displaystyle \gamma ([0,T])}$${\displaystyle \gamma ([T,L])}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle l(\gamma )=2l(\gamma _{0})}$

平面を、、北極を通って反射し、長さ の対心点 を含む閉曲線を形成します。 を結ぶ曲線の長さは少なくとも で、これは 間の大半円の長さです。したがって であり、等式が成り立つ場合、 は赤道を横切りません。 ${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (T)}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \pm p}$${\displaystyle l(\gamma _{1})=2l(\gamma _{0})}$${\displaystyle \pm p}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pm p}$${\displaystyle l(\gamma _{1})\geq 2\pi }$${\displaystyle \gamma _{0}}$

したがって、であり、等式が成り立つ場合、 は閉じた半球面内にあり、したがって は平面曲線です。 ${\displaystyle l(\gamma )=2l(\gamma _{0})=l(\gamma _{1})\geq 2\pi }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$