方城（数学）

方程（方程、 方成とも表記される）（中国語：方程、ピンイン：fāngchéng）は、紀元前10世紀から紀元前2世紀にかけて活躍した数世代の学者によって編纂された中国の数学古典『九 章算術』の第8章の題名である。このテキストは、中国で現存する最古の数学テキストの1つである。中国数学の歴史家の中には、方程という用語を正確に翻訳するのは簡単ではないと指摘する者もいる。^{[1] [2]しかし、第一近似として「}長方形配列」または「正方形配列」と翻訳されてきた。 ^[1]この用語は、『九章算術』の第8章で説明されている特定の種類の問題を解くための特定の手順を指すためにも使用される。^[2]

『九章』第 8 章で説明されている「方程」という用語で呼ばれる手順は、本質的にはn 個の未知数を持つn 個の方程式の連立方程式の解を求める手順であり、現代の線型代数学における同様の手順と同等です。記録されている最も古い方程手順は、現在ガウス消去法と呼ばれているものに似ています。

方成法は古代中国で人気があり、日本に伝わった。この法はヨーロッパにも伝わり、現代の行列理論、ガウスの消去法、行列式の先駆けとなった可能性がある。^[3]ゴットフリート・ライプニッツによる消去法と行列式の研究が1678年に始まるまで、ギリシャでもヨーロッパでも線型代数に関する研究はあまり行われていなかったことはよく知られている。さらに、ライプニッツは中国愛好家であり、入手可能な中国語テキストの翻訳に興味を持っていた。^[3]

最初の文字「牙」の意味に曖昧さはありません。それは「長方形」または「正方形」を意味します。しかし、2番目の文字「成」については異なる解釈がなされています。^[2]

1. 現存する最古の注釈書は、劉徽による紀元263年のもので、そこでは「税率に従って税金を徴収する」という意味の非数学用語「計量」を引用して、程を「尺度」と定義しています。そして劉は方程を「長方形の計量」と定義しています。しかし、「計量」という用語は数学用語ではなく、『九章』の他のどこにも出てきません。数学以外では、「計量」は税金を徴収するために最もよく使用される用語です。
2. 李季の『九章算術：発音と意味』でも、cheng を「尺度」と解説していますが、ここでも数学用語ではないkelü という、課税によく使われる用語が使われています。李季は、 fangcheng を次のように定義しています。「fang は左右を意味します。chenは比率の項を意味します。左右の比率の項は、多数のオブジェクトを組み合わせるため、「長方形の配列」と呼ばれます。」
3. 楊慧の『九章算術詳説』では、程を重さ、高さ、長さを測る一般的な用語として定義しています。詳説では、次のように述べられています。「方」と呼ばれるものは数字の形であり、「程」は（あらゆる形式の）測定の一般的な用語であり、重さ、長さ、体積を等しくする方法でもあり、特に大きいものと小さいものをはっきりと区別して測ることを指します。」

19 世紀末以来、中国の数学文献では「方程式」を表すために「方程」という用語が使用されてきました。しかし、すでに述べたように、この用語の伝統的な意味は「方程式」とは大きく異なります。

九章本の第 8 章「方成」には 18 問の問題があります (本全体では合計 288 問)。これらの 18 問の問題は、連立一次方程式を解く問題に帰着します。問題 13 を除いて、すべての問題は、未知数の数が方程式の数と同じという意味で確定的です。未知数が 2、3、4、5 の問題があります。以下の表は、さまざまな問題に未知数がいくつあるかを示しています。

18 問すべての問題 (問題 1 と問題 3 を除く) の表現は、共通のパターンに従います。

• まず問題が述べられます。
• すると、問題に対する答えが与えられます。
• 最後に答えを得る方法が示されます。

• 問題：
  • 高品質の稲わら3束、中品質の稲わら2束、低品質の稲わら1束で39単位の米が生産される。
  • 高品質の稲わら2束、中品質の稲わら3束、低品質の稲わら1束で34単位の米が生産されます。
  • 高品質の稲わら1束、中品質の稲わら2束、低品質の稲わら3束で26単位の米が生産されます。
  • 質問：高品質、中品質、低品質の稲わらからそれぞれ何単位の米を生産できますか？
• 解決：
  • 高品質の稲わらは1本あたり9トン生産される+1/4⁠米の単位
  • 中品質の稲わら1本あたり4+1/4⁠米の単位
  • 低品質の稲わらは1本あたり2トン生産される+3/4⁠米の単位

問題 1 の提示には、解を得るための手順の説明 (明確な指示ではありません) が含まれています。この手順は、 " fangcheng手順"を意味する、fangcheng shuと呼ばれています。残りの問題ではすべて、" fangcheng手順に従う" という指示があり、その後に "正の数と負の数の手順" を使用するようにという指示が続くことがあります。

負の数を扱うための「正負の数の手順」（zheng fu shu）と呼ばれる特別な手順もあります。この手順は、問題 3 を解く方法の一部として説明されています。

これら 18 の問題のうち、問題 13 は非常に特殊です。この問題には未知数が 6 個ありますが、方程式は 5 個しかないため、問題 13 は不確定であり、一意の解がありません。これは、未知数の数が方程式の数を超える線形方程式のシステムに関する最も古い既知の言及です。中国数学の歴史家である Jean-Claude Martzloff の提案に従って、Roger Hart はこの問題を「井戸問題」と名付けました。

• クリスティン・アンドリュース＝ラーソン (2015)。「線形代数のルーツ：線形システムの歴史的探究」。PRIMUS . 25 (6): 507–528. doi : 10.1080 /10511970.2015.1027975. S2CID  122250602。
• カンシェン・シェン、ジョン・N・クロスリー、アンソニー・ワー・チュン・ルン、フイ・リウ（1999年）。『数学の芸術に関する9つの章：手引きと解説』オックスフォード大学出版局。pp. 386–440。ISBN 978-0-19-853936-0. 2016年12月7日閲覧。