ファニャーノの問題

幾何学において、ファニャーノの問題は、1775年にジョヴァンニ・ファニャーノによって初めて提唱された最適化問題である。

与えられた鋭角三角形に対して、周長が最小となる内接三角形を求めます。

解決策は、与えられた三角形の高さの底点を頂点とする直交三角形である。

与えられた三角形の高さの底辺を頂点とする直交三角形は、鋭角三角形に内接するすべての三角形の中で周長が最小であるため、ファニャーノの問題の解となる。ファニャーノの元の証明は、微積分法と、彼の父ジュリオ・カルロ・デ・トスキ・ディ・ファニャーノが与えた中間結果を用いた。しかしその後、ヘルマン・シュヴァルツやリポト・フェイェールらによって、いくつかの幾何学的証明も発見された。これらの証明は、鏡映の幾何学的性質を利用して、周長を表す最小経路を決定する。

物理学的な解決策は、フックの法則に従うゴムバンドを三角形のフレームの3辺に巻き付けることを想像することで見出される。${\displaystyle ABC}$そうすれば、ゴムバンドは滑らかに滑り回ることができます。すると、ゴムバンドは弾性エネルギーを最小にする位置に落ち着き、したがって全長も最小になります。この位置は、最小周長の三角形を与えます。ゴムバンド内部の張力はゴムバンド全体で同じなので、静止状態では、ラミの定理により、次のようになります。${\displaystyle \angle bcA=\angle acB,\angle caB=\angle baC,\angle abC=\angle cbA}$

したがって、この最小三角形は直交三角形である。

ファニャーノの問題は、光が鏡面三角形内で反射し、有限回の反射後に元の位置と向きに戻る経路も提供する。したがって、鋭角三角形の場合、三角形ビリヤードにおける周期的な経路を見つける問題を解決する。このような経路の存在は、任意の三角形に対しては未解決のままである。^{[ 1 ]}

直交三角形の周長が最小であることは、絶対幾何学やさらに弱い設定といった、より一般的な設定においても証明できる。^{[ 2 ]}

• セットTSP問題とは、一連のセットのそれぞれを最短経路で訪問するという、より一般的なタスクである。

ドリー、ハインリヒ（1965）「ファニャーノの高度基点問題」、初等数学の100の偉大な問題、アンティン、デイビッド訳、ドーバー出版、359-361頁、ISBN  978-0-486-61348-2

• ポール・J・ナヒン著『最小が最善であるとき：数学者たちはいかにして物事を可能な限り小さく（あるいは大きく）するための多くの巧妙な方法を発見したか』プリンストン大学出版局、2004年、ISBN 0-691-07078-4 、 67ページ
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL: Geometry Revisited . Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, pp.  88–89.
• HA Schwarz : Gesammelte Mathematische Abhandlungen、vol. ２．ベルリン、1890 年、344 ～ 345 ページ 。 (インターネットアーカイブでオンライン、ドイツ語)
• Pambuccian, Victor; Struve, Horst; Struve, Rolf (2025)、「ファニャーノの定理が成り立つ公理的枠組みの包括的な分析」、Journal of Geometry、116 : 1–28、doi : 10.1215/00294527-2017-0019

• ファニャーノの結び目を切る際の問題
• ファニャーノの問題（数学百科事典）
• 三角形の幾何学に関するウェブサイトに掲載されているファニャーノの問題
• ワイススタイン、エリック・W.、「ファニャーノの問題」、MathWorld
• ファニャーノの問題に対する、ガイド付き証明を用いた調査的アプローチ