指数階乗

指数階乗は正の整数 n のn −1乗であり、これをn −2 乗し 、右に並べていく。つまり、

${\displaystyle n^{(n-1)^{(n-2)\cdots }}}$

指数階乗は再帰関係で定義することもできる。

${\displaystyle a_{1}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}}$

最初のいくつかの指数階乗は1、2、9、262144、 ... （OEIS : A049384またはOEIS : A132859）です。たとえば、 262144 は指数階乗です。

${\displaystyle 262144=4^{3^{2^{1}}}}$

再帰関係を使用すると、最初の指数階乗は次のようになります。

1

2 ¹ = 2

3 ² = 9

4 ⁹ = 262144

5 ²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878...8212890625 (183231 桁)

指数階乗は、通常の階乗や超階乗よりもはるかに速く増加します。 6 の指数階乗の桁数はおよそ 5 × 10 ^{183 230}です。

1 から上の指数階乗の逆数の合計は次の超越数です。

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{3^{2^{1}}}}+{\frac {1}{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{5^{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}+\ldots =1.611114925808376736\underbrace {111111111111\ldots 111111111111} _{183212}272243682859\ldots }$

この和はリウヴィル数なので超越数です。

テトレーションと同様に、指数階乗関数を引数の実数値および複素数値に拡張する方法は現在認められていません。これは階乗関数とは異なり、そのような拡張はガンマ関数によって提供されます。ただし、ストリップ幅 1 で定義されている場合は拡張できます。

同様に、0 における適切な値についても意見の相違があります。どの値も再帰的定義と一致します。実数への滑らかな拡張は を満たし、厳密に 0 と 1 の間の値であることを示します。 ${\displaystyle f(0)=f'(1)}$

• Jonathan Sondow、「指数階乗」Wolfram Web リソースのMathworldより