価値のないゲーム

ゲームの数学的理論、特にゼロ和 連続ゲームの研究では、すべてのゲームがミニマックス値を持つわけではありません。これは、両方のプレイヤーが完全な戦略（特定のPDFから選択すること） を実行する場合の、一方のプレイヤーの期待値です。

この記事では、価値のないゼロサムゲームの例を示します。これは、 SionとWolfeによるものです。^[1]

有限数の純粋戦略を持つゼロサムゲームはミニマックス値を持つことが知られています (元々はジョン・フォン・ノイマンによって証明されました)。しかし、ゲームに無限の戦略セットがある場合は必ずしもそうではありません。以下は、ミニマックス値を持たないゲームの簡単な例です。

このようなゼロサムゲームの存在は興味深いものです。なぜなら、ミニマックス値がなければ ゲーム理論の結果の多くが適用できなくなるからです。

プレイヤー I と II はそれぞれ 0 から 1 までの数字とを選択します。プレイヤー I への支払いは、 つまり、選択が行われた後、プレイヤー II がプレイヤー I に支払います (したがって、ゲームはゼロサムです)。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<y<x+1/2,\\0&{\text{if }}x=y{\text{ or }}y=x+1/2,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$${\displaystyle K(x,y)}$

ペアを単位正方形上の点として解釈すると、図はプレーヤー I の利得を示します。プレーヤー I は、確率密度関数 (pdf)に従って数値を選択する混合戦略を採用し、同様にプレーヤー II は pdf から選択します。プレーヤー I は利得を最大化することを目指し、プレーヤー II は利得を最小化することを目指します。各プレーヤーは、相手の目的を認識しています。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K(x,y)}$

Sion と Wolfe は、これらはそれぞれプレイヤー I と II のゲームの価値の最大期待値と最小期待値であることを示してい ます 。 $${\displaystyle \sup _{f}\inf _{g}\iint K\,df\,dg={\frac {1}{3}}}$$$${\displaystyle \inf _{g}\sup _{f}\iint K\,df\,dg={\frac {3}{7}}.}$$

および は、それぞれ単位区間上の pdf の上限と下限をとります (実際にはボレル確率測度)。これらは、プレーヤー I とプレーヤー II の (混合) 戦略を表します。したがって、プレーヤー I は、プレーヤー II の戦略を知っていれば、少なくとも 3/7 の報酬を確保でき、プレーヤー II は、プレーヤー I の戦略を知っていれば、報酬を 1/3 に抑えることができます。 ${\displaystyle \sup}$${\displaystyle \inf}$

十分に小さい、具体的には の場合、イプシロン均衡は存在しません。Dasgupta と Maskin ^[2]は、プレイヤー I がセットにのみ確率の重みを付け、プレイヤー II が にのみ重みを付けた場合にゲームの価値が達成されると主張しています。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon <{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{7}}-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 0.0476}$${\displaystyle \left\{0,1/2,1\right\}}$${\displaystyle \left\{1/4,1/2,1\right\}}$

グリックスバーグの定理は、上側または下側の半連続的なペイオフ関数を持つ任意のゼロサムゲームには値があることを示しています (この文脈では、上側 (下側) 半連続関数Kは、任意の実数cに対して集合(resp ) が開いている関数です)。 ${\displaystyle \{P\mid K(P)<c\}}$${\displaystyle \{P\mid K(P)>c\}}$ 

Sion と Wolfe の例のペイオフ関数は半連続ではありません。ただし、K ( x ,  x ) とK ( x ,  x  + 1/2) (2 つの不連続点に沿ったペイオフ) の値を +1 または -1 に変更して、ペイオフをそれぞれ上限または下限の半連続にすることで、半連続にすることができます。これを実行すると、ゲームに価値が生まれます。

ホイヤー^[3]によるその後の研究は、単位正方形が3つの領域に分割され、各領域で報酬関数が一定であるゲームのクラスについて議論している。