アーラン（単位）

アーラン（記号E ^[1]）は、電話回線や電話交換機などのサービス提供要素にかかる負荷または搬送負荷の尺度として電話で使用される無次元単位です。1コード回線は、1時間に60分間使用できます。その容量を完全に利用した場合、つまり60分間のトラフィックが1アーランになります。^[2]

アーラン単位の伝送トラフィックは、特定の期間 (通常は 1 時間) に測定された同時通話の平均数です。一方、提供トラフィックは、すべての通話試行が成功した場合に伝送されるトラフィックです。実際に伝送される提供トラフィックの量は、すべてのサーバーがビジー状態のときに応答されない通話がどうなるかによって異なります。

CCITTは1946 年にAgner Krarup Erlangに敬意を表して、電話トラフィックの国際単位を Erlang と命名しました。^{[3] [4]} Erlang は効率的な電話回線の使用を分析し、Erlang-B と Erlang-C という 2 つの重要なケースの公式を導き出しました。これらは、テレトラフィック エンジニアリングと待ち行列理論における基礎的な成果となりました。現在でも使用されている彼の成果は、サービス品質と利用可能なサーバーの数を関連付けるものです。両方の公式は、提供される負荷 (単位は Erlang) を主な入力値の 1 つとしており、これは通常、コール到着率と平均通話時間の積として表されます。

Erlang B の公式の背後にある際立った前提は、キューが存在しないという点です。そのため、すべてのサービス要素がすでに使用中である場合、新しく到着した通話はブロックされ、その後失われます。この公式は、これが発生する確率を示します。対照的に、Erlang C の公式は、キューが無制限である可能性を想定しており、すべてのサーバーが使用中であるため、新しい通話がキューで待機する必要がある確率を示します。Erlang の公式は、かなり広範囲に適用されますが、輻輳が特に高い場合は、失敗したトラフィックが繰り返し再試行する原因となり、失敗する可能性があります。キューが使用できない場合の再試行を考慮する方法の 1 つは、拡張 Erlang B 方式です。

搬送トラフィックを表すために使用される場合、値 (43.5 などの非整数も可) の後に「アーラン」が続くものは、回線 (またはその他のサービス提供要素) によって搬送される同時通話の平均数を表します。この平均は、ある程度の妥当な期間にわたって計算されます。平均を計算する期間は 1 時間であることが多いですが、需要が短時間急増することがわかっており、これらの急増を隠さないトラフィック測定が望ましい場合は、より短い期間 (15 分など) が使用されることもあります。搬送トラフィックの 1 アーランは、1 つのリソースが継続的に使用されていること、または 2 つのチャネルがそれぞれ 50% の時間使用されていることなどを指します。たとえば、オフィスに 2 人の電話交換手がいて、どちらも常に話中である場合、それは 2 アーラン (2 E) のトラフィックを表します。または、対象の期間 (1 時間など) 中に継続的に占有されている無線チャネルの負荷は 1 アーランであると言われます。

提供トラフィックを表す場合、「アーラン」が続く値は、回線数が無制限の場合（つまり、すべての回線が使用中のときに行われた通話が拒否されなかった場合）に実行された同時通話の平均数を表します。提供トラフィックと実行トラフィックの関係は、システムの設計とユーザーの行動によって異なります。一般的な 3 つのモデルは、(a) 通話が拒否された発信者は立ち去り、二度と戻ってこない、(b) 通話が拒否された発信者は、かなり短い時間内に再試行する、(c) システムは回線が利用可能になるまでユーザーがキューで待機できるようにする、です。

トラフィックの 3 番目の測定値は瞬間トラフィックです。これは、特定のアーラン数として表され、ある時点で発生する通話の正確な数を意味します。この場合、数値は負でない整数です。移動ペン レコーダーなどのトラフィック レベル記録デバイスは、瞬間トラフィックをプロットします。

Agner Krarup Erlangによって導入された概念と数学は、電話以外にも幅広く適用できます。これらの概念と数学は、チケット販売窓口、飛行機のトイレ、モーテルの部屋など、ユーザーが多かれ少なかれランダムにやって来て、事前の予約なしにサービス提供要素のグループのいずれかから独占的なサービスを受ける場合に適用されます。(Erlang のモデルは、サービス提供要素が複数の同時ユーザー間で共有される場合や、データ トラフィックを運ぶ回線など、ユーザーによって消費されるサービス量が異なる場合には適用されません。)

アーランのトラフィック理論の目標は、無駄な過剰プロビジョニングをせずに、ユーザーを満足させるために、サービス提供要素をいくつ提供すべきかを正確に判断することです。これを行うには、サービス グレード(GoS) またはサービス品質(QoS) の目標を設定します。たとえば、キュ​​ーイングのないシステムでは、GoS は、すべての回線が使用中であるために 100 回の通話のうち 1 回以上がブロック (つまり拒否) されない (GoS は 0.01) ということになります。これは、アーラン B 式を使用した場合の通話ブロックの目標確率P _bになります。

結果として得られる式はいくつかあり、その中には、ユーザー行動とシステム操作のさまざまなモデルに基づく、アーラン B、アーラン C、および関連するEngset 式が含まれます。これらはそれぞれ、誕生死過程と呼ばれる連続時間マルコフ過程の特殊なケースによって導出できます。最近の拡張アーラン B 法は、アーランの結果を利用したさらなる交通ソリューションを提供します。

提供トラフィック（アーラン単位）は、コール到着率λおよび平均通話保留時間（電話の平均通話時間）hと次のように関係します。

${\displaystyle E=\lambda h}$

ただし、hとλ は同じ時間単位 (秒と 1 秒あたりの呼び出し数、または分と 1 分あたりの呼び出し数) を使用して表現されます。

トラフィックの実際の測定は、通常、数日または数週間にわたる継続的な観察に基づいて行われ、その間、瞬間的なトラフィックが定期的に短い間隔 (数秒ごとなど) で記録されます。これらの測定値を使用して、1 つの結果 (最も一般的には最繁時トラフィック (アーラン単位)) が計算されます。これは、1 日の特定の 1 時間における同時呼び出しの平均数であり、その期間は最高の結果が得られるように選択されます (この結果は、時間的に一貫性のある最繁時トラフィックと呼ばれます)。別の方法としては、最繁時トラフィック値を各日 (各日でわずかに異なる時間に対応する場合があります) で個別に計算し、これらの値の平均を取る方法があります。この方法では、通常、時間的に一貫性のある最繁時値よりもわずかに高い値が得られます。

既存の最繁時の伝送トラフィックE _cが、すでに過負荷で、かなりのレベルのブロックがあるシステムで測定される場合、最繁時の提供トラフィックE _o (アーランの公式で使用されるトラフィック値) を推定する際に、ブロックされたコールを考慮する必要があります。提供トラフィックは、E _o = E _c /(1 − P _b )で推定できます。この目的のために、システムにブロックされたコールと成功したコールをカウントする手段が含まれている場合、ブロックされたコールの割合からP _{b を直接推定できます。それができない場合は、アーランの公式で}E _oの代わりにE _{c を使用して}P _{b を}推定し、その結果得られたP _bの推定値をE _o = E _c /(1 − P _b )で使用して、E _oの最初の推定値を得ることができます。

過負荷システムでE _{o を}推定する別の方法は、最繁時のコール到着率λ (成功したコールとブロックされたコールをカウント) と平均コール保留時間 (成功したコールの場合) hを測定し、式E = λh を使用してE _{o を}推定することです。

処理するトラフィックがまったく新しいトラフィックである場合、唯一の選択肢は、予想されるユーザー行動をモデル化することです。たとえば、アクティブユーザー人口N、予想される使用レベルU (1 日あたりのユーザーあたりの通話/トランザクション数)、最繁時集中係数C (最繁時に発生する 1 日のアクティビティの割合)、平均保留時間/サービス時間h (分単位で表す) を推定できます。最繁時に提供されるトラフィックの予測は、 E _o = ⁠になります。ヌク/60⁠ h アーラン。(60 で割ると、最繁時の通話/トランザクション到着率が 1 分あたりの値に変換され、 hの表現単位と一致します。)

アーランBの式（またはハイフン付きのアーランB ）は、アーラン損失式とも呼ばれ、同一の並列リソース（電話回線、回路、トラフィックチャネルなど）のグループ（M/M/c/cキューと呼ばれることもある）のコール損失の確率を表すブロッキング確率の式です。^[5] たとえば、電話ネットワークのリンクのサイズを決定するために使用されます。この式は、Agner Krarup Erlangによって導き出されたもので、キューイングシステム（サーバーは多数あるが、着信コールが空きサーバーを待つためのキューイングスペースがない特殊なケース）の確率を表すため、電話ネットワークに限定されません。したがって、この式は、販売損失が発生する特定の在庫システムでも使用されます。

この式は、回線がビジー状態であるために失敗した通話がキューに入れられたり再試行されたりせず、永久に消滅するという条件で適用されます。通話試行はポアソン過程に従って到着すると想定されるため、通話到着の瞬間は独立しています。さらに、メッセージの長さ (保留時間) は指数分布 (マルコフ系) すると想定されますが、この式は一般的な保留時間分布にも適用されます。

アーラン B の式は、ソース (電話加入者など) の数が無限であり、それらが共同でN台のサーバー (電話回線など) にトラフィックを提供していることを前提としています。新しい呼び出しが到着する頻度を表す率 λ (発生率、トラフィックの強度など) は一定であり、アクティブなソースの数には依存しません。ソースの合計数は無限であると想定されています。アーラン B の式は、バッファレス損失システムのブロッキング確率を計算します。このシステムでは、すぐに処理されない要求は中止され、要求はキューに入れられません。ブロッキングは、使用可能なすべてのサーバーが現在ビジー状態のときに新しい要求が到着すると発生します。この式では、ブロックされたトラフィックはクリアされ、戻らないことも想定しています。

この式は、GoS (サービス グレード) を提供します。これは、すべてのリソース (サーバー、回線、回路) がビジーであるために、リソース グループに到着した新しい呼び出しが拒否される確率P _bです: B ( E、m )。ここで、Eは、 m 個の同一の並列リソース (サーバー、通信チャネル、交通レーン) に提供される合計トラフィック (アーラン単位) です。

${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

どこ：

• P _bはブロックの確率である
• m は、サーバー、電話回線などの同一の並列リソースの数です。
• E = λh は正規化された入力負荷（アーランで表された提供トラフィック）です。

注:アーランは、平均到着率λに平均通話保留時間hを掛けて計算される無次元の負荷単位です。リトルの法則が次元的に妥当であるためには、アーラン単位が無次元でなければならないことを証明するには、 リトルの法則を参照してください。

これは、アーランB式の表の計算を簡略化するために使用される形式で、次のように 再帰的に表現することができます^{[6] 。}

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,メートル。}$

通常、数値計算では数値安定性を確保するために、B ( E , m )の代わりに逆関数1/ B ( E , m )が計算されます。

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

関数ErlangB ( EはDouble 、mはInteger )はDouble型、 InvBはDouble型、jはInteger 型         
       
       

    InvB = 1.0 For j = 1 To m InvB = 1.0 + InvB * j / E Next j ErlangB = 1.0 / InvB終了関数  
         
                
     
        
 

またはPythonバージョン

def  erlang_b ( E ,  m :  int )  ->  float : 
"""コールロスの確率を計算します。""" inv_b = 1.0 for j in range ( 1 , m + 1 ): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b    
      
          
                
       

アーランBの公式はmに関して減少し凸である。^{[7]この公式では、呼の到着を}ポアソン過程 によってモデル化できることが要求されるが、これは必ずしも良い一致ではないが、有限の平均を持つ呼保留時間の任意の統計分布に対して有効である。 この公式は、トラフィックをバッファリングしないトラフィック伝送システムに適用できる。POTSと比較してアーランBがまだ適用可能なより現代的な例としては、光バーストスイッチング（OBS）と光パケットスイッチング（OPS）に対するいくつかの現在のアプローチがある。 アーランBは、保留時間が数分の範囲の電話ネットワークのトランクのサイズ設定ツールとして開発されたが、数式であるため、任意の時間スケールに適用できる。

拡張アーランBは、ブロックされた発信者の一部が再試行できるようにすることで、初期のベースラインレベルから提供されるトラフィックを増加させる点で、従来のアーランBの仮定とは異なります。これは数式ではなく反復計算であり、リコール試行を定義するリコール係数という追加のパラメータを追加します。^[8]${\displaystyle R_{\text{f}}}$

プロセスの手順は次のとおりです。^[9]既知の初期ベースラインレベルのトラフィックから反復処理が開始され、このレベルが連続的に調整されて、一連の新しい提供トラフィック値が計算されます。各値は、以前に計算された提供トラフィックから生じるリコールを考慮しています。 ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{k+1}}$${\displaystyle E_{k}}$

1. Erlang B の場合、上記のように発信者が最初の試行でブロックされる確率を計算します。$${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E_{k},m)}$$
2. ブロックされる通話の予想数を計算する$${\displaystyle B_{\text{e}}=E_{k}P_{\text{b}}}$$
3. 固定リコール係数 を仮定して、リコール数 を計算します。${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{\text{f}}}$$${\displaystyle R=B_{\text{e}}R_{\text{f}}}$$
4. 新しく提供されるトラフィックを計算します。ここでは、初期（ベースライン）レベルのトラフィックです。$${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R}$$${\displaystyle E_{0}}$
5. ステップ 1 に戻り、を代入して、 の安定した値が得られるまで繰り返します。${\displaystyle E_{k+1}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle E}$

満足のいく値が見つかったら、ブロッキング確率とリコール係数を使用して、最初の呼び出しだけでなく、その後の再試行も含め、発信者のすべての試行が失われる確率を計算できます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle P_{\text{b}}}$

アーランCの式は、到着した顧客が（すぐにサービスを受けるのではなく）キューに入る必要がある確率を表します。^[10]アーランBの式と同様に、アーランCは、アーランのトラフィックを共同でサーバーに提供するソースの無限の集団を想定しています。ただし、ソースからリクエストが到着したときにすべてのサーバーがビジー状態の場合、リクエストはキューに入れられます。このようにして、無制限の数のリクエストが同時にキュー内に保持される場合があります。この式は、ブロックされたコールが処理できるようになるまでシステム内にとどまると仮定して、提供されたトラフィックがキューに入る確率を計算します。この式は、指定された望ましいキューイング確率に対して、コールセンターに配置する必要があるエージェントまたはカスタマーサービス担当者の数を決定するために使用されます。ただし、アーランCの式では、発信者がキューにいる間に電話を切ることはないと想定しているため、この式では、望ましいサービスレベルを維持するために実際に必要な数よりも多くのエージェントを使用すべきであると予測されます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle P_{\text{w}}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle E}$アーラン単位で提供される総トラフィック量です
• ${\displaystyle m}$サーバーの数
• ${\displaystyle P_{\text{w}}}$顧客がサービスを待たなければならない確率です。

通話の到着はポアソン過程によってモデル化でき、通話の保留時間は指数分布によって記述されると想定されているため、アーラン C の式はM/M/c キューモデルの仮定に従います。

アーランがアーラン B およびアーラン C のトラフィック方程式を開発した際、それらは一連の仮定に基づいて開発されました。これらの仮定はほとんどの状況で正確ですが、極端に高いトラフィック輻輳が発生した場合、アーランの方程式は再入トラフィックのために必要な回線数を正確に予測できません。これは高損失システムと呼ばれ、ピーク時に輻輳がさらに輻輳を生みます。このような場合、まず多くの追加回線を利用できるようにして、高い損失を軽減する必要があります。この措置を講じると、輻輳は適切なレベルに戻り、アーランの方程式を使用して実際に必要な回線数を正確に決定できます。^[11]

このような高損失システムが発生する原因となる例としては、テレビ広告で特定の時間に特定の電話番号に電話をかけるようアナウンスする場合が挙げられます。この場合、多数の人が同時に提供された番号に電話をかけます。サービスプロバイダーがこの突然のピーク需要に対応していない場合、極端な交通渋滞が発生し、アーラン方程式は使用できなくなります。^[11]

• システムスペクトル効率（セルラーネットワーク容量をErlang/MHz/セルで説明）
• AK エルラン
• コールセンター
• 離散イベントシミュレーション
• エンセット式
• Erlangプログラミング言語
• アーラン分布
• リトルの法則
• ポアソン分布
• トラフィックミックス

• 「自動電話交換機における有意確率理論におけるいくつかの問題の解決」(PDF)。Elektrotkeknikeren 。13 : 5。 1917年。2011年7月19日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。