エルゴード数列

数学において、エルゴード数列は、特定の等分布特性を持つ特定のタイプの整数数列です。

を正の整数の無限の厳密に増加する列とする。整数qが与えられたとき、この列がq を法としてエルゴード的であるとは、すべての整数 に対して、 ${\displaystyle A=\{a_{j}\}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq q}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty}{\frac {N(A,t,k,q)}{N(A,t)}}={\frac {1}{q}}}$

どこ

${\displaystyle N(A,t)={\mbox{card}}\{a_{j}\in A:a_{j}\leq t\}}$

そしてカードは集合のカウント（要素の数）なので、それはシーケンスAのt以下の要素の数であり、 ${\displaystyle N(A,t)}$

${\displaystyle N(A,t,k,q)={\mbox{card}}\{a_{j}\in A:a_{j}\leq t,\,a_{j}\mod q=k\}}$

シーケンスA内のt未満の要素のうち、 k を法とするqに等しい要素の数も同様です。つまり、シーケンスを無限にとったときに q を法として均一に分布するシーケンスであれば、そのシーケンスはエルゴードシーケンスです。${\displaystyle N(A,t,k,q)}$

同等の定義は、

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{N(A,t)}}\sum _{j;a_{j}\leq t}\exp {\frac {2\pi ika_{j}}{q}}=0}$

任意の整数kに対しては消えます。 ${\displaystyle k\mod q\neq 0}$

シーケンスがすべてのqに対してエルゴードである場合、周期系に対してエルゴードであると言われることがあります。

正の整数のシーケンスはすべてのqに対してエルゴード的です。

ベルヌーイ列のほとんどすべて、つまりベルヌーイ過程に関連する列は、すべてのqに対してエルゴード的である。つまり、 を2 つの文字 上のランダム変数の確率空間とする。すると、 が与えられた場合、ランダム変数はpの確率で 1 になり、1- p の確率で 0 になる。これがベルヌーイ過程の定義である。それぞれには、整数の列が 関連付けられている。${\displaystyle (\Omega ,Pr)}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle X_{j}(\omega )}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\omega }=\{n\in \mathbb {Z} :X_{n}(\omega )=1\}}$

すると、ほぼすべてのシーケンスはエルゴードになります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\omega }}$

• エルゴード理論
• エルゴード過程、信号処理における用語として用いられる