平衡点（数学）

数学、特に微分方程式において、平衡点とは微分方程式の定数解のことです。

その点は微分方程式の平衡点 である${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

すべてに対して。 ${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\チルダ {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$${\displaystyle t}$

同様に、点は 差分方程式の平衡点（または不動点）である。${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

の場合。 ${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\チルダ {\mathbf {x} }})={\チルダ {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

平衡は、平衡に関する方程式の線形化の固有値の符号を見ることによって分類できます。つまり、システムの各平衡点でヤコビ行列を評価し、その結果得られる固有値を見つけることによって、平衡を分類できます。次に、各固有値に関連付けられた固有ベクトルを見つけることによって、各平衡点の近傍でのシステムの挙動を定性的に (場合によっては定量的にも) 決定できます。

平衡点は、どの固有値も実部がゼロでない場合、双曲点です。すべての固有値が負の実部を持つ場合、その点は安定です。少なくとも 1 つの固有値が正の実部を持つ場合、その点は不安定です。少なくとも 1 つの固有値が負の実部を持ち、少なくとも 1 つの固有値が正の実部を持つ場合、平衡点は鞍点であり、不安定です。すべての固有値が実数で同じ符号を持つ場合、その点はノードと呼ばれます。

• 自律方程式
• 臨界点
• 定常状態

• ボイス、ウィリアム E.;ディプリマ、リチャード C. (2012)。初等微分方程式と境界値問題(第 10 版)。Wiley。ISBN 978-0-470-45831-0。
• ペルコ、ローレンス (2001)。微分方程式と動的システム (第 3 版)。シュプリンガー。pp. 102–104。ISBN 1-4613-0003-7。