埋め込みレンズ

埋め込みレンズは、周囲の物質分布の相対的な空隙に囲まれた（埋め込まれた）質量の集中からなる重力レンズです。質量と周囲の空隙の存在の両方が、その近傍を通過する光の経路に影響を与えます。これは、周囲に空隙がない、より単純で馴染みのある重力レンズ効果とは対照的です。^{[ 1 ]}質量密度の増減の形状や配置は重力レンズ効果を引き起こしますが、理想的な埋め込みレンズは球形で、内部の質量密度が周囲の空間領域の質量密度と一致します。埋め込みレンズの重力の影響は、単純な重力レンズとは異なります。光線は異なる角度で曲げられ、宇宙論的に重要な規模の埋め込みレンズは宇宙の空間的進化（膨張）に影響を与えます。

密度が均一な領域では、球状の埋め込みレンズは、球状の局所の質量が中心にあるより小さな球（または点）に対称的に集中することに対応する。宇宙論的レンズの場合、宇宙にゼロでない宇宙定数Λがある場合、Λはボイドの内側と外側で同じでなければならない。ボイド内の幾何学を記述する計量は、ゼロでない宇宙定数があるかどうかに応じて、シュヴァルツシルト計量またはコットラー計量^{[ 2 ]となる。}

レンズを埋め込むことで、重力ポテンシャルの範囲が効果的に縮小され、すなわち、レンズの質量凝縮によって生じるレンズ効果によるポテンシャルが部分的に遮蔽されます。例えば、コットラー・シュワルツシルトボイドの境界をかすめる光線は、レンズの質量凝縮によって曲げられることなく（つまり、埋め込まれたレンズの重力ポテンシャルを感じることなく）、平坦な背景宇宙では直線経路をたどります。

アインシュタイン場の方程式の解析解となるためには、埋め込みレンズは以下の条件を満たす必要がある。

1. 埋め込まれたレンズ（点質量または分布質量）の質量は、取り除かれた球体の質量と同じでなければならない。
2. 空隙内の質量分布は球対称であるべきである。
3. 宇宙定数は、埋め込まれたレンズの内側と外側で同じであるべきである。

不均一性（銀河、銀河団、大きなボイドなど）を持つ宇宙は、上記のように質量凝縮を含む球状のボイドによって表され、スイスチーズ宇宙と呼ばれます。スイスチーズ宇宙の概念は、1945 年にアインシュタインとストラウスによって初めて考案されました。 ^{[ 3 ]}スイスチーズモデルは、宇宙の不均一性をモデル化するために広く使用されてきました。たとえば、大規模な不均一性（超銀河団など）が宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の温度の観測された異方性に及ぼす影響は、 ¹⁹⁶⁸年にリースとシアマによってスイスチーズモデル（いわゆるリース・シアマ効果）を使用して調査されました。[4] スイスチーズ宇宙における距離^赤方偏移関係は^、 1969 年にロナルド・カントウスキー^によって、 1970 年代にはダイアーとローダーによって調査されました。 ^{[ 6 ]}非ゼロの宇宙定数を持つ 平坦な圧力のないフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー(FLRW)背景宇宙における単一の埋め込み点質量レンズの重力レンズ理論は、一連の論文でロナルド・カントウスキー、ビン・チェン、シンユ・ダイによって構築された。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

埋め込みレンズと従来のレンズの主な違いは、標準レンズの質量が宇宙密度の平均値に寄与するのに対し、埋め込みレンズの質量は寄与しない点です。したがって、埋め込みレンズの重力ポテンシャルは有限の範囲を持ち、すなわち、ボイドの外側ではレンズ効果は生じません。これは、重力ポテンシャルが無限の範囲を持つ標準レンズとは異なります。

埋め込みの結果、埋め込みレンズの曲げ角、レンズ方程式、像の増幅、像のせん断、および複数の像間の時間遅延はすべて、標準的な線形化レンズのものと異なります。たとえば、像ペア間の時間遅延のポテンシャル部分と、埋め込みレンズの弱いレンズせん断は、標準的な重力レンズ理論と数パーセント以上異なる可能性があります。^{[ 7 ]}

埋め込み点質量レンズの場合、最低次のレンズ方程式は次のように書ける^{[ 7 ]。}

${\displaystyle \theta _{S}=\theta _{I}-{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{I}}}\left[{\sqrt {1-(\theta _{I}/\theta _{M})^{2}}}\right]^{3}}$

どこ${\displaystyle \theta _{E}}$は標準点質量レンズの アインシュタインリングであり、${\displaystyle \theta _{M}}$は埋め込みレンズの角度サイズです。これは標準的なシュワルツシルトレンズの式^{[ 1 ]と比較できます。}

${\displaystyle \theta _{S}=\theta _{I}-{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{I}}}}$