エルキーズの三項曲線

数論において、エルキーズの三項式曲線は、ノアム・エルキーズによって構築された特定の超楕円曲線であり、曲線上の有理点が、特定のガロア群を持つQの拡張を与える三項式多項式に対応するという特性を持っています。

一方の曲線 C ₁₆₈は、7次の多項式からガロア群PSL(2,7)を与え、もう一方の曲線 C _{1344は、PSL(2, 7) が作用する 8 次の 2 元群の}半直積であるガロア群 AL(8) を与え、1344 次の 8 つの根上の対称群の推移的置換部分群を与えます。

曲線 C ₁₆₈の方程式は次のとおりです。

${\displaystyle y^{2}=x(81x^{5}+396x^{4}+738x^{3}+660x^{2}+269x+48)}$

この曲線は、三項多項式方程式 x ^{7 + bx + c = 0 の}ガロア分解子の平面代数曲線モデルです。(射影化された)曲線上に点 (x, y) が存在する場合、対応する有理数のペア (b, c) が存在し、三項多項式は因数分解されるか、または 168 位の有限単純群であるガロア群 PSL(2,7) を持ちます。この曲線の種数は2 であるため、ファルティングスの定理により、曲線上には有限個の有理点しかありません。これらの有理点は、コンピュータプログラムKashを使用してNils BruinによってC ₁₆₈上の唯一のものであることが証明され、ガロア群PSL(2,7)を持つ4つの異なる三項多項式のみを与えます：x ⁷ -7x+3（Trinks多項式）、（1/11）x ⁷ -14x+3 ²（Erbach-Fisher-McKay多項式）、およびガロア群PSL(2,7)を持つ2つの新しい多項式、

${\displaystyle 37^{2}x^{7}-28x+3^{2}}$

そして

${\displaystyle (499^{2}/113)x^{7}-212x+3^{4}}$。

一方、曲線 C ₁₃₄₄の方程式は次のようになります。

${\displaystyle y^{2}=2x^{6}+4x^{5}+36x^{4}+16x^{3}-45x^{2}+190x+1241}$

再び種数は 2 で、ファルティングスの定理により有理点のリストは有限です。その有理点は、ガロア群 AL(8) を持つ多項式 x ⁸ +16x+28、x ⁸ +576x+1008、19 ⁴ 53x ^{8 +19x+2、および 2 つの異なる有理点から得られ、今度は 8 次多項式のガロア群として再びガロア群 PSL(2, 7) を持つ x 8} +324x+567 に対応するものだけであると考えられています。

• Bruin, Nils; Elkies, Noam (2002)。「168 次および 8⋅168 次ガロア群を持つ三項式ax ⁷ + bx + cおよびax ⁸ + bx + c 」。アルゴリズム数論: 第 5 回国際シンポジウム、ANTS-V 。コンピュータ サイエンスの講義ノート、第 2369 巻、Springer-Verlag。pp. 172–188。MR  2041082。

• Erbach, DW; Fisher, J.; McKay, J. (1979). 「PSL(2,7) をガロア群とする多項式」.数論ジャーナル. 11 (1): 69–75. doi : 10.1016/0022-314X(79)90020-9 . MR  0527761.