寄生数

n寄生数(基数 10) は、nを掛けると10 進数表現の最後の桁が先頭に移動する正の自然数です。ここで、 n自体は 1 桁の正の自然数です。言い換えると、10 進数表現は 1 桁右循環シフトします。例:

4 × 128205 = 512820 なので、128205 は 4 寄生です。

ほとんどの数学者は先頭のゼロの使用を許可しておらず、これは一般的な慣習です。

したがって、4 × 25641 = 102564 であっても、数 25641 は4 寄生数 ではありません。

n寄生数は、右端（一）桁の数字k （ n以上）から始めて、1桁ずつ上へ進むことで導き出せます。例えば、n = 4、k = 7 の場合、

4 × 7 = 2 8

4 ×  8 7 = 3 48

4 ×  48 7 = 1 948

4 ×  948 7 = 3 7948

4 ×  7948 7 = 3 17948

4 ×  17948 7 = 717948 .

したがって、179487 は、単位桁が 7 の 4 寄生数です。他には、179487179487、179487179487179487 などがあります。

循環小数点に注目してください

${\displaystyle x=0.179487179487179487\ldots =0.{\overline {179487}}{\mbox{ は }}4x=0.{\overline {717948}}={\frac {7.{\overline {179487}}}{10}}.}$

したがって

${\displaystyle 4x={\frac {7+x}{10}}{\mbox{ なので }}x={\frac {7}{39}}.}$

一般に、n寄生数は次のようにして求められます。k ≥ nとなる1 桁の整数k を選び、循環小数k /(10 n −1)の周期を取ります。これは次 の式で表されます。ここで、m は周期の長さ、つまり10 を法として(10 n − 1)を掛けた次数です。 ${\displaystyle {\frac {k}{10n-1}}(10^{m}-1)}$

別の例として、n = 2の場合には10 n − 1 = 19となり、1/19の循環小数は

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}.}$

つまり、2/19 の場合はその 2 倍になります。

${\displaystyle {\frac {2}{19}}=0.{\overline {105263157894736842}}.}$

この周期の長さmは 18 で、10 を 19 で割ったものと同じなので、2 × (10 ¹⁸ − 1)/19 = 105263157894736842 となります。

105263157894736842 × 2 = 210526315789473684 となり、これは 105263157894736842 の最後の桁を前に移動した結果です。

上記のステップバイステップの導出アルゴリズムは、優れたコア技術ですが、n 寄生数をすべて見つけられるわけではありません。導出された数が導出元と等しい場合、無限ループに陥ってしまいます。この例は、n = 5 かつ k = 5 の場合に発生します。導出される 42 桁の n 寄生数は、102040816326530612244897959183673469387755 です。下の表 1 のステップを確認してください。アルゴリズムは右から左への構築を開始し、ステップ 15 に達すると無限ループが発生します。行 16 および 17 は、何も変更されていないことを示すために示されています。この問題には修正方法があり、これを適用すると、アルゴリズムは 10 進数のすべてのn寄生数を見つけるだけでなく、8 進数と 16 進数でもそれらを見つけます。表 2 の行 15 を見てください。この状態が特定され、 n寄生数が見つからない場合の修正方法は、乗算の積をシフトせずにそのまま使用し、最後にn (この場合は 5) を追加するだけです。42 ステップ後に、適切な寄生数が見つかります。

このアルゴリズムを使用する際に注意すべき条件がもう 1 つあります。先頭のゼロを失ってはいけません。シフト番号が作成されると、位置的に重要な先頭のゼロが含まれる場合があり、次のステップに持ち越す必要があります。計算機やコンピュータの計算方法では、先頭のゼロは削除されます。n =  4 およびk  = 4 の導出手順を示す以下の表 3 をご覧ください。ステップ 4 で作成されたシフト番号 02564 には先頭のゼロがあり、ステップ 5 に入力されて先頭のゼロ積が作成されます。結果のシフトはステップ 6 に入力され、4 で終わる 4 寄生数が 102564 であることを証明する積が表示されます。

最小のn寄生数は、フリーマン・ダイソンが提起したこれらの数に関するパズルにちなんで、ダイソン数とも呼ばれています。^{[1] [2] [3]}これらは以下の通りです（先頭のゼロは許可されません）（OEISのシーケンスA092697）

一般に、先頭のゼロを許可するように規則を緩和すると、各nに対して 9 個のn寄生数が存在します。それ以外の場合は、k ≥ n の場合にのみ、数はゼロで始まらないため、実際の定義に適合します。

他のn寄生整数は連結によって構築できます。たとえば、179487 は 4 寄生数なので、179487179487、179487179487179487 なども 4 寄生数です。

12進法では、最小のn寄生数は次のとおりです。(それぞれ10と11を表すために2と3を反転したものを使用します) (先頭のゼロは許可されません)

厳密な定義では、1から始まる最小の数mのうち、商m / nがmの左端の数字1を右端にシフトするだけで得られるものは

1、105263157894736842、1034482758620689655172413793、102564、102040816326530612244897959183673469387755、 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966、1014492753623188405797、1012658227848、 10112359550561797752808988764044943820224719、10、100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321、100840336134453781512605042016806722689075630252、...（OEISの配列A128857）

それらはn /(10 n − 1)の周期であり、また10進整数の周期-n / (10 n − 1)でもあります。

それらの桁数は

1、18、28、6、42、58、22、13、44、2、108、48、21、46、148、13、78、178、6、99、18、8、228、7、41、6、268、15、272、66、34、28、138、112、116、179、5、378、388、18、204、418、6、219、32、48、66、239、81、498 、...（OEIS の配列A128858 ）

• 循環数
• 線形フィードバックシフトレジスタ

• CA Pickover、『Wonders of Numbers』、第 28 章、Oxford University Press UK、2000 年。
• 整数シーケンスのオンライン百科事典のシーケンスOEIS : A092697。
• レオン・バーンスタイン (1968)、「乗法双子と原始根」、数学ツァイシュリフト、105 : 49–58、doi :10.1007/BF01135448、MR  0225709、S2CID  121138247