二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ素数
既知の用語の数	4
推定される用語数	4
最初の学期	7, 127, 2147483647
最も大きな既知の用語	170141183460469231731687303715884105727
OEIS指数	A077586; a( n ) = 2^(2^素数( n ) − 1) − 1;

数学において、二重メルセンヌ数とは、次のような形式のメルセンヌ数である。

M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1

ここでpは素数です。

例

二重メルセンヌ数列の最初の4項は^[1]（OEISのA077586列）である。

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

二重メルセンヌ素数

素数である二重メルセンヌ数は、二重メルセンヌ素数と呼ばれます。メルセンヌ数M _{p は、} pが素数の場合にのみ素数となるため(証明についてはメルセンヌ素数を参照)、二重メルセンヌ数は、M p自体_がメルセンヌ素数の場合にのみ素数となります。M _pが素数となる最初のpの値については、p = 2、3、5、7では素数であることがわかっており、 p = 13、17、19、31 ではの因数が明示的に見つかっています。 $M_{M_{p}}$ $M_{M_{p}}$ $M_{M_{p}}$

したがって、次の二重メルセンヌ素数の最小候補は、つまり 2 ^{2305843009213693951} − 1 です。約 1.695 × 10 ^{694127911065419641であるため、この数は、現在知られているどの}素数判定にも大きすぎます。1 × 10 ³⁶未満の素因数はありません。^[2] 知られている 4 つの他に二重メルセンヌ素数はおそらく存在しません。^[1]^[3] $M_{M_{61}}$

（pはn番目の素数）の最小の素因数は $M_{M_{p}}$

7、127、2147483647、170141183460469231731687303715884105727、47、338193759479、231733529、62914441、2351、1399、295257526626031、18287、106937、863、4703、138863、22590223644617、...（次の項は> 1 × 10 ^{36 ）（}OEISのシーケンスA309130）

カタロニア語・メルセンヌ数予想

再帰的に定義されたシーケンス

c_{0}=2

c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}

はカタラン・メルセンヌ数列と呼ばれる。^[4]数列の最初の項（OEISの数列A007013）は次の通りである。

c_{0}=2

c_{1}=2^{2}-1=3

c_{2}=2^{3}-1=7

c_{3}=2^{7}-1=127

c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727

c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.45431\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.70942}}

カタランはこの数列を、ルーカスが1876年にが素数であることを発見した後に発見した。 ^[1]^[5]カタランは、それらが「ある限界まで」素数であると推測した。最初の5つの項は素数であるが、それ以降の項が素数すぎるという理由だけで、それらの項が（合理的な時間内に）素数であると証明できる既知の方法はない。しかし、が素数でない場合は、何らかの小さな素数を法として計算することによって（再帰的べき乗剰余を使用）これを発見できる可能性がある。結果の剰余がゼロの場合、はの因数を表し、したがってその素数性が反証される。はメルセンヌ数であるため、そのような素因数はの形式でなければならない。さらに、が合成数であるときは合成数であるため、数列内の合成項の発見は、数列内のそれ以上の素数の可能性を排除する。 $M_{127}=c_{4}$ $c_{5}$ $c_{5}$ $p$ $p$ $c_{5}$ $c_{5}$ $p$ $2kc_{4}+1$ $2^{n}-1$ $n$

が素数であれば、新メルセンヌ予想とも矛盾する。はを因数とする合成数であることが知られている。^[6] $c_{5}$ ${\frac {2^{c_{4}}+1}{3}}$ $886407410000361345663448535540258622490179142922169401=5209834514912200c_{4}+1$

大衆文化において

フューチュラマ映画『ビリオン・バックス』では、二重メルセンヌ数が「ゴールドバッハ予想の初等的証明」の中で簡単に登場します。映画では、この数は「火星素数」として知られています。 $M_{M_{7}}$

参照

参考文献

^ abc Chris Caldwell、「Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages」。
^ 「Double Mersenne 61 因数分解ステータス」www.doublemersennes.org . 2022年3月31日閲覧。
^ IJ Good. メルセンヌ数に関する予想. 計算数学第9巻 (1955) p. 120-121 [2012-10-19取得]
^ ワイスタイン、エリック・W.「カタルーニャ・メルセンヌ数」。マスワールド。
^ “提案者への質問”.ヌーベル対応数学。2 : 94–96。1876年。(おそらく編集者が収集したもの)。92番の質問と同様に、ほとんどすべての質問にエドゥアール・ルーカスの署名があります。
Prouver que 2 ⁶¹ − 1 et 2 ¹²⁷ − 1 Sont des nombres プレミア。 (É.L.) (*)。
編集者のウジェーヌ・カタランが書いた脚注（星印で示されています）は次のとおりです。
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on accept que 2 ² − 1, 2 ³ − 1, 2 ⁷ − 1 Sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à unesuree限界、si 2 ⁿ − 1 est un nombre premier p、 2 ^p − 1 est un nombre premier p '、2 ^{p '} − 1 est un nombre premier p" など。 Cette 命題 a quelque Analie avec le théorème suivant, énonce par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: S n 2、2 ⁿ +で楽しみましょう1 番目のアン・ナンバー・プレミア(EC) 。
^ 新しいメルセンヌ予想

さらに読む

ディクソン、LE（1971）[1919]、数論の歴史、ニューヨーク：チェルシー出版。

外部リンク

Weisstein、Eric W.「二重メルセンヌ数」。MathWorld。
Tony Forbes、「MM61 の因数の探索」Wayback Machineに 2009-02-08 にアーカイブされました。
二重メルセンヌ数の因数分解の状況
ダブルメルセンヌ素数探索
オペラツィオーネ・ドッピ・メルセンヌ

[Caldwell-1] Chris Caldwell、「Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages」。

[2] 「Double Mersenne 61 因数分解ステータス」www.doublemersennes.org . 2022年3月31日閲覧。

[3] IJ Good. メルセンヌ数に関する予想. 計算数学第9巻 (1955) p. 120-121 [2012-10-19取得]

[4] ワイスタイン、エリック・W.「カタルーニャ・メルセンヌ数」。マスワールド。

[5] “提案者への質問”.ヌーベル対応数学。2 : 94–96。1876年。(おそらく編集者が収集したもの)。92番の質問と同様に、ほとんどすべての質問にエドゥアール・ルーカスの署名があります。
Prouver que 2 ⁶¹ − 1 et 2 ¹²⁷ − 1 Sont des nombres プレミア。 (É.L.) (*)。
編集者のウジェーヌ・カタランが書いた脚注（星印で示されています）は次のとおりです。
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on accept que 2 ² − 1, 2 ³ − 1, 2 ⁷ − 1 Sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à unesuree限界、si 2 ⁿ − 1 est un nombre premier p、 2 ^p − 1 est un nombre premier p '、2 ^{p '} − 1 est un nombre premier p" など。 Cette 命題 a quelque Analie avec le théorème suivant, énonce par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: S n 2、2 ⁿ +で楽しみましょう1 番目のアン・ナンバー・プレミア(EC) 。

[Hoegge-6] 新しいメルセンヌ予想

例