戦略的優位性

ゲーム理論において、戦略A が戦略Bを支配するとは、他のプレイヤーがどのようにプレイしようとも、 Aが常にBよりも優れた結果を生み出す場合をいう。非常に単純なゲーム（ストレートゲームと呼ばれる）の中には、支配関係を用いて解けるものもある。

プレイヤーは2つの戦略AとBを比較して、どちらが優れているかを判断できます。比較結果は次のいずれかになります。

• BはAを厳密に支配する（>）：他のプレイヤーが何をするかに関わらず、Bを選択する方が常にAを選択するよりも良い結果が得られる。
• BはAを弱く支配する（≥）：他のプレイヤーが何をするかに関わらず、Bを選ぶことは常にAを選ぶことと同等以上の結果をもたらし、BがAよりも良い結果をもたらす対戦相手の行動の組み合わせが少なくとも1つ存在する。（BがAを厳密に支配する場合、BはAを弱く支配することに注意してください。したがって、「BはAを支配する」とは「BはAを弱く支配する」という意味になります。）^{[ 1 ]}
• BはAに対して弱く支配されている。つまり、少なくとも1つの対戦相手の行動の組み合わせでは、BはAよりも悪い結果をもたらすが、他のすべての対戦相手の行動の組み合わせでは、BはAと同じ利得をもたらす。（戦略AはBを弱く支配している）。
• BはAに完全に支配されている。他のプレイヤーが何をするかに関わらず、Bを選択することは常にAを選択するよりも悪い結果をもたらす。（戦略AはBを完全に支配する）。
• AもBも他方を支配していません。BとAは同等ではなく、BはAを支配も支配もしていません。相手がどのようにプレイするかによって、Aを選ぶ方が良い場合もあれば、Bを選ぶ方が良い場合もあります。例えば、じゃんけんでは、Bは「グーを出す」、Aは「チョキを出す」です。

この考え方は、2つの戦略の比較にとどまらず、より広い範囲に一般化できる。

• 戦略Bが他のすべての可能な戦略を厳密に支配する場合、戦略Bは厳密に支配的である。
• 戦略Bが弱支配的であるとは、戦略Bが他のすべての可能な戦略を弱支配する場合をいう。
• 戦略Bは、 Bを厳密に支配する他の戦略が存在する場合に、厳密に支配される。
• 戦略Bは、 Bを弱く支配する他の戦略が存在する場合に、弱く支配されるという。

戦略：ゲームにおけるプレイヤーの完全な状況対応計画。完全な状況対応計画とは、プレイヤーの行動を完全に規定したものであり、考えられるすべての意思決定ポイントでプレイヤーが取るであろう各行動を記述するものです。情報セットは、プレイヤーが意思決定を行わなければならないゲーム内のポイントを表すため、プレイヤーの戦略は、各情報セットでプレイヤーが何をするかを記述します。^{[ 2 ]}

合理性：各プレイヤーは、さまざまな結果の確率を考慮して、自分が最も好むものをもたらすように行動するという仮定。フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、これらの選好が特定の条件を満たす場合、これは数学的にペイオフの最大化と同等であることを示した。ペイオフの最大化の分かりやすい例は金銭的利益だが、ゲーム理論分析の目的上、このペイオフは、現金報酬、労力や不快感の最小化、正義の促進など、あらゆる望ましい結果を取ることができ、これらはすべてプレイヤーの全体的な「効用」を蓄積するものとしてモデル化できる。合理性の仮定は、プレイヤーは常に、さまざまな可能な結果を​​最良から最悪へと順序付けることを最もよく満たす方法で行動すると述べている。^{[ 2 ]}

共通認識：各プレイヤーがゲームに関する知識を持ち、各行動に関連するルールと報酬を知っており、他のすべてのプレイヤーも同じレベルの理解を持っていることを認識しているという前提。これは、プレイヤーが合理性の前提に基づいて、他のプレイヤーの行動に対する価値判断を行い、行動を選択する際に考慮に入れることを可能にする前提である。 ^{[ 2 ]}

ゲームにおいて一方のプレイヤーに厳密に支配的な戦略が存在する場合、そのプレイヤーはゲームのナッシュ均衡のそれぞれにおいてその戦略を採用します。両方のプレイヤーに厳密に支配的な戦略が存在する場合、ゲームには「支配戦略均衡」と呼ばれる唯一のナッシュ均衡が存在します。しかし、このナッシュ均衡は必ずしも「効率的」とは限らず、両プレイヤーにとってより良い非均衡的な結果が存在する可能性があります。このことを示す古典的なゲームとして、囚人のジレンマが挙げられます。

厳密に支配される戦略はナッシュ均衡の一部にはなり得ないため、どのプレイヤーにとってもそのような戦略をとることは非合理的である。一方、弱く支配される戦略はナッシュ均衡の一部になり得る。例えば、右図に示す利得行列を考えてみよう。

戦略Cは戦略Dを弱く支配する。C をプレイする場合を考えてみよう。相手がCをプレイすれば1を得る。相手がDをプレイすれば0を得る。これをDと比較すると、 Dの場合はどちらをプレイしても0を得る。あるケースでは、 DではなくCをプレイした方が有利になり、決して不利にならないため、CはDを弱く支配する。しかしながら、${\displaystyle (D,D)}$はナッシュ均衡です。両方のプレイヤーがD を選択したとします。どちらかのプレイヤーが一方的に逸脱しても、利益は増え。プレイヤーがC に切り替えても、利益は 0 のままです。これはナッシュ均衡の要件を満たしています。両方のプレイヤーが C を選択したとします。どちらかのプレイヤーが一方的に逸脱しても、利益は増えません。プレイヤーが D に切り替えても、利益は 0 のままです。これもナッシュ均衡の要件を満たしています。

支配戦略の反復除去（または削除、除去）（IESDS、IDSDS、IRSDSとも呼ばれる）は、支配戦略を反復的に除去するゲーム解決の一般的な手法の一つです。最初のステップでは、合理的なプレイヤーはこれらの戦略をプレイしないため、すべての支配戦略が各プレイヤーの戦略空間から除去されます。これにより、より小さな新しいゲームが生成されます。以前は支配されていなかった戦略が、この小さなゲームでは支配される可能性があります。最初のステップが繰り返され、さらに小さな新しいゲームが生成され、これを繰り返します。

このプロセスは、プレイヤー間の合理性が共通認識であると仮定されているため有効である。つまり、各プレイヤーは他のプレイヤーが合理的であることを知っており、各プレイヤーは他のプレイヤーが自分が他のプレイヤーが合理的であることを知っていることを知っていることを知っており、それが無限に続く（Aumann、1976を参照）。

弱支配戦略の反復除去（または削除、除去）（IEWDS、IDWDS、IRWDSとも呼ばれる）は、戦略形式のゲームにおける手順であり、各プレイヤーの戦略セットから弱支配されている戦略（つまり、他の戦略よりも高い利得をもたらさず、場合によっては厳密に低い利得しかもたらさない戦略）を反復的に除去し、各ラウンドの縮小されたゲームをさらなる除去の基礎として扱う。

IEWDSは厳密に支配される戦略の反復消去プロセス（IESDS）を一般化したものですが、いくつかの重要な点で異なります。結果は弱く支配される戦略が削除される順序に依存する可能性があります（つまり、一般的には順序に依存しません）。^{[ 3 ]}

さらに、IEWDS を生き残る戦略プロファイルは、ある種の慎重合理性の条件 (プレイヤーは相手に対する完全な支持信念がある場合、弱く支配される戦略を決してプレイしない) を満たさなければならないが、排除プロセスは元のゲームのナッシュ均衡の一部を排除する可能性がある。 ^{[ 3 ]}

この手法のユースケースとしては、弱い支配関係が存在するゲームの単純化や、「慎重な信念」の仮定に基づくゲームの分析などが挙げられる。例えば、最近の研究では、特定の正則展開型ゲームにおいて、IEWDSを最大限に適用することで、ゲームを唯一の部分ゲーム完全均衡を含む自明な部分ゲームに還元できることが示されている。

• 最大支配戦略
• リスク優位性
• 勝利戦略

• フーデンバーグ、ドリュー、ティロール、ジャン（1993）。ゲーム理論。MIT Press。
• ギボンズ、ロバート（1992）。応用経済学者のためのゲーム理論。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00395-5。
• ギンティス、ハーバート（2000）。『ゲーム理論の進化』プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00943-0。
• レイトン＝ブラウン、ケビン；ショハム、ヨアブ（2008）。ゲーム理論の基礎：簡潔で学際的な入門書。カリフォルニア州サンラファエル：モーガン＆クレイプール出版。ISBN 978-1-59829-593-1。88ページにわたる数学入門書。3.3節を参照。多くの大学でオンラインで無料で閲覧可能。
• ラポポート、A. (1966).二人ゲーム理論：基本概念. ミシガン大学出版局.
• ジム・ラトリフのゲーム理論講座：戦略的優位性
• ショハム、ヨアブ；レイトン＝ブラウン、ケビン（2009）。マルチエージェントシステム：アルゴリズム的、ゲーム理論的、論理的基礎。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-89943-7。計算論的観点からの包括的な参考資料。セクション3.4.3、4.5を参照。オンラインで無料でダウンロード可能。
• 「混合戦略における厳密な優位性 – ゲーム理論入門」. gametheory101.com . 2021年12月17日取得。
• ワトソン・ジョエル著『戦略 ：ゲーム理論入門』第3版、WWノートン社、2013年。

この記事は、 PlanetMathの Dominant strategy の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。