相違度指数

非類似度指数は、 2つのグループが、より大きな地域を構成する構成要素の地理的エリア全体に均等に分布しているかどうかを測る人口統計学的尺度です。各地理的単位のグループ メンバーの割合が総人口と同じである場合、グループは均等に分布しています。指数スコアは、計算に含まれる 2 つのグループのうちの 1 つが、より大きなエリアの分布と一致する分布を実現するために別の地理的エリアに移動しなければならない割合として解釈することもできます。非類似度指数は、分離の尺度として使用できます。スコアが 0% の場合は、完全に統合された環境を反映し、スコアが 1 (100%) の場合は、完全な分離を反映します。黒人と白人の分離に関して、スコアが 0.60 の場合は、均等な地理的分布を実現するために、黒人の 60% が他の単位で白人と場所を交換する必要があることを意味します。^{[1] [2] [3] [4]}非類似度指数は、グループの相対的なサイズには依存しません。

非類似度指数の基本的な式は次のとおりです。

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {a_{i}}{A}}-{\frac {b_{i}}{B}}\right|}$

ここで（たとえば、黒人と白人の人口を比較すると）：

a _i = i^番目の地域（例：国勢調査区）のグループAの人口

A = 相違度指数の計算対象となる大規模な地理的エンティティ内のグループ A の総人口。

b _i = i^番目の地域のグループBの人口

B = 非類似度指数を計算する大規模な地理的エンティティ内のグループ B の総人口。

非類似度指数は、あらゆるカテゴリ変数（人口統計的変数かどうかに関係なく）に適用でき、その単純な特性のため、多次元尺度法やクラスタリング プログラムへの入力として役立ちます。これは、社会流動性の研究では、出身（または目的地）の職業カテゴリの分布を比較するために広く使用されています。

次のような、地域ごとの白人と黒人の人口分布を考えてみましょう。

非類似度指数の式は、線形代数の観点から考えると、はるかに簡潔で意味のあるものになります。ある都市 (たとえばロンドン) の富裕層と貧困層の分布を研究しているとします。都市に次のようなブロックがあるとします。 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \{{\text{block 1}},{\text{block 2}},\ldots ,{\text{block N}}\}}$

都市の各ブロックの富裕層の人数を示す ベクトルを作成しましょう。${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =[r_{1},r_{2},\cdots ,r_{N}]}$

同様に、都市の各ブロックの貧困者の数を示す ベクトルを作成しましょう。${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} =[p_{1},p_{2},\cdots ,p_{N}]}$

さて、ベクトルの-ノルムは、そのベクトルの各要素（の大きさ）の合計に過ぎません。^[5]つまり、ベクトルの場合、-ノルムは次のようになります。 ${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{N}]}$${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle |\mathbf {v} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|v_{i}|}$

を都市の富裕層の総数として表す場合、計算を簡潔にするには -ノルムを使用します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle R=|\mathbf {r} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|r_{i}|}$

同様に、私たちの都市の貧困層の総数を と すると、次のようになります。${\displaystyle P}$

${\displaystyle P=|\mathbf {p} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|p_{i}|}$

ベクトルをそのノルムで割ると、正規化ベクトルまたは 単位ベクトルと呼ばれるものが得られます。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |_{1}}}}$

金持ちのベクトルと貧乏なベクトルを正規化してみましょう。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |_{1}}}={\frac {\mathbf {r} }{R}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{|\mathbf {p} |_{1}}}={\frac {\mathbf {p} }{P}}}$

最後に、非類似度指数（ ）の式に戻ります。これは、ベクトルとの差の -ノルムの半分に等しくなります。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$

2 人の住民が住む 4 つのブロックから成る都市を考えてみましょう。1 つのブロックには 2 人の金持ちが住みます。1 つのブロックには 2 人の貧乏人が住みます。2 つのブロックには 1 人の金持ちと 1 人の貧乏人が住んでいます。この都市の相違指数はいくらでしょうか。

まず、金持ちベクトルと貧乏人ベクトルを見つけましょう。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =[2,0,1,1]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[0,2,1,1]}$

次に、私たちの街の裕福な人と貧しい人の合計数を計算してみましょう。

${\displaystyle R=2+0+1+1=4}$

${\displaystyle P=0+2+1+1=4}$

次に、金持ちのベクトルと貧乏なベクトルを正規化しましょう。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{R}}={\frac {1}{4}}[2,0,1,1]=[0.5,0,0.25,0.25]}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{P}}={\frac {1}{4}}[0,2,1,1]=[0,0.5,0.25,0.25]}$

差を計算すると次のようになります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}=[0.5,0,0.25,0.25]-[0,0.5,0.25,0.25]=[0.5,-0.5,0,0]}$

最後に、非類似度指数（）を求めましょう。 ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}(|0.5|+|-0.5|)=0.5}$

の線形代数式はの基本式と同一であることを証明できます。線形代数式から始めましょう。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}}$

正規化されたベクトルを次のように置き換えてみましょう。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\mathbf {r} }{R}}-{\frac {\mathbf {p} }{P}}\right|_{1}}$

最後に、 -ノルムの定義から、これを合計に置き換えることができることがわかります。 ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}$

したがって、非類似度指数の線形代数式は、その基本式と同等であることが証明されます。

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}$

非類似度指数がゼロの場合、研究対象のコミュニティに分離がないことを意味します。たとえば、都市における富裕層と貧困層の分離を研究している場合、 であれば次のことを意味します。 ${\displaystyle D=0}$

• 市内に「裕福なブロック」というブロックはなく、市内に「貧しいブロック」というブロックもありません。
• 市内には富裕層と貧困層が均等に分布している

線形代数式を設定すると、ゼロ分離を持つための必要条件が得られます。 ${\displaystyle D=0}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

たとえば、2 つのブロックがある都市があるとします。各ブロックには 4 人の金持ちと 100 人の貧乏人がいます。

${\displaystyle \mathbf {r} =[4,4]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[100,100]}$

すると、金持ちの総数は であり、貧乏な人の総数は である 。したがって、 ${\displaystyle R=4+4=8}$${\displaystyle P=100+100=200}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[4/8,4/8]=[0.5,0.5]}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/200,100/200]=[0.5,0.5]}$

なぜなら、この都市には人種差別が存在しないからです。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

別の例として、3 つのブロックがある都市があるとします。

${\displaystyle \mathbf {r} =[1,2,3]}$

${\displaystyle \mathbf {p} =[100,200,300]}$

そして、私たちの街には裕福な人もいれば、貧しい人もいます。つまり、 ${\displaystyle R=1+2+3=6}$${\displaystyle P=100+200+300=600}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[1/6,2/6,3/6]}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/600,200/600,300/600]=[1/6,2/6,3/6]}$

再度申し上げますが、 のため、この都市にも人種差別は存在しません。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }$

• カルバック・ライブラー距離
• 隔離指数
• 自己非類似性
• フーバー指数

• http://enceladus.isr.umich.edu/race/calculate.html 2011-05-17 にWayback Machineでアーカイブされました