デリックの定理

デリックの定理は物理学者 GH デリックによる議論であり、 空間次元が 3 以上の場合、非線形波動方程式または非線形クライン・ゴードン方程式の定常局所解は不安定であることを示しています。

デリックの論文^[1]は、 ソリトンのような解を粒子として解釈する上で障害となると考えられていたが、 非線形波動方程式に対する 安定した局所定常解が存在しないという以下の物理的な議論を含んでいた。

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta -{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{2}}f'(\theta ),\qquad \theta (x,t)\in \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

現在ではデリックの定理として知られています。(上記はを持つ微分可能関数です。) ${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle f'(0)=0}$

時間に依存しない解のエネルギーは次のように与えられる。 ${\displaystyle \theta (x)\,}$

${\displaystyle E=\int \left[(\nabla \theta )^{2}+f(\theta )\right]\,d^{3}x.}$

解が安定するための必要条件は です。 がの局所解であると仮定します。を任意の定数として と定義し、 と書きます。すると ${\displaystyle \delta ^{2}E\geq 0\,}$${\displaystyle \theta (x)\,}$${\displaystyle \delta E=0\,}$${\displaystyle \theta _{\lambda }(x)=\theta (\lambda x)\,}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle I_{1}=\int (\nabla \theta )^{2}d^{3}x}$${\displaystyle I_{2}=\int f(\theta )d^{3}x}$

${\displaystyle E_{\lambda }=\int \left[(\nabla \theta _{\lambda })^{2}+f(\theta _{\lambda })\right]\,d^{3}x=I_{1}/\lambda +I_{2}/\lambda ^{3}.}$

どこから、 そしてそれ以来、 ${\displaystyle dE_{\lambda }/d\lambda \vert _{\lambda =1}=-I_{1}-3I_{2}=0.\,}$${\displaystyle I_{1}>0\,}$

${\displaystyle \left.{\frac {d^{2}E_{\lambda }}{d\lambda ^{2}}}\right|_{\lambda =1}=2I_{1}+12I_{2}=-2I_{1}\,<0.}$

つまり、粒子の均一な伸張に対応する変化です。したがって、解は不安定です。 ${\displaystyle \delta ^{2}E<0\,}$${\displaystyle \theta (x)\,}$

デリックの議論は、に当てはまります。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 3\,}$

より一般的には、^{[2] は}連続で と します。 と書きます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g(0)=0}$${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

方程式の解となる

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$、

分布の意味で、次の関係式を満たす 。${\displaystyle u}$

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx,}$

ポホザエフの恒等式（ Pohozaev's identityと綴られることもある）として知られる。^{[3]この結果は}ビリアル定理 に似ている。

この式をハミルトン形式 で書くと 、 はの関数であり、ハミルトン関数は次のように表される。 ${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=\nabla ^{2}u-{\frac {1}{2}}f'(u)}$ ${\displaystyle \partial _{t}u=\delta _{v}H(u,v)}$${\displaystyle \partial _{t}v=-\delta _{u}H(u,v)}$${\displaystyle u,\,v}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle H(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|v|^{2}+{\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}+{\frac {1}{2}}f(u)\right)\,dx,}$

およびはの変分微分 です 。 ${\displaystyle \delta _{u}H\,}$${\displaystyle \delta _{v}H\,}$${\displaystyle H(u,v)\,}$

すると定常解は エネルギーを持ち 、次の式を満たす。 ${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$${\displaystyle H(\theta ,0)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|\nabla \theta |^{2}+{\frac {1}{2}}f(\theta )\right)\,d^{n}x}$

${\displaystyle 0=\partial _{t}\theta (x)=-\partial _{u}H(\theta ,0)={\frac {1}{2}}E'(\theta ),}$

は、 関数の変分微分を表します。解は の臨界点ですが( なので)、デリックの議論によれば では となり 、したがって は エネルギー関数 の局所的最小値の点 ではありません。したがって、物理的には、解は不安定であると予想されます。局所定常状態のエネルギーが最小化されないことを示す関連する結果 ( についても記述されていますが、導出は 次元でも有効です) は、1963 年に RH ホバートによって得られました。^[4]${\displaystyle E'\,}$ ${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} ^{n}}[\vert \nabla \theta \vert ^{2}+f(\theta )]\,d^{n}x}$${\displaystyle \theta (x)\,}$${\displaystyle E\,}$${\displaystyle E'(\theta )=0\,}$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\lambda \,^{2}}}E(\theta (\lambda x))<0}$${\displaystyle \lambda =1\,}$${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$${\displaystyle H\,}$${\displaystyle \theta (x)\,}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n\geq 2}$

より強力な主張である、非線形波動方程式（任意の空間次元）の局所定常解の線形（または指数関数的）不安定性は、2007年にP. KarageorgisとWA Straussによって証明されました。 ^[5]

デリックは、この困難から抜け出すいくつかの方法を説明しています。その中には、素粒子が時間に依存しないのではなく、時間的に周期的な安定した局所的な解に対応するという推測も含まれています。 実際、後に^[6]で、周波数を持つ時間周期孤立波は、 ヴァヒトフ・コロコロフの安定性基準が満たされている場合、軌道的に安定する可能性があることが示されました。 ${\displaystyle u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}\,}$${\displaystyle \omega \,}$

• 軌道安定性
• ポホジャエフの正体
• ヴァヒトフ・コロコロフ安定性基準
• ビリアル定理