オルバースのパラドックス

エドワード・ロバート・ハリソンの『夜の闇：宇宙の謎』^{[ 2 ]}（1987年）は、科学史における問題とみなされている暗い夜空のパラドックスについて解説している。ハリソンによれば、このパラドックスのようなものを最初に考えたのはトーマス・ディッグスであり、彼は英語でコペルニクス体系を初めて解説し、無限の数の星を持つ無限の宇宙を仮定した人物でもある。^{[ 3 ]}ヨハネス・ケプラーも1610年にこの問題を提起し、このパラドックスは18世紀のエドモンド・ハレーとジャン＝フィリップ・ロイス・ド・シェゾーの研究で成熟した形となった。^{[ 4 ]}このパラドックスは一般的に、1823年にそれを記述したドイツのアマチュア天文家ハインリヒ・ヴィルヘルム・オルバースに帰せられているが、ハリソンはオルバースがこの問題を最初に提起した人物ではなく、また、それについての彼の考えが特に価値のあるものではなかったと指摘している。^{[ 2 ]}

エドガー・アラン・ポーのエッセイ「ユリイカ」（1848年）は、解決策のいくつかの定性的な側面を予見しており、^{[ 1 ]}次のように述べている。

星の連なりが無限であれば、空の背景は銀河のように均一な明るさを示すだろう。なぜなら、その背景全体に星が存在しない場所は絶対にあり得ないからである。したがって、そのような状況下で、望遠鏡が無数の方向に発見する空虚を理解できる唯一の方法は、目に見えない背景までの距離が非常に遠く、そこからの光線がまだ私たちに届いていないと仮定することである。^{[ 5 ]}

科学文献で最初に解決策を発表したのは、 1858年のヨハン・ハインリヒ・フォン・メードラーで、有限の年齢の宇宙であればパラドックスを解決できると示唆した。^{[ 6 ]}メードラーの研究は、1860年にフレデリック・カイザーが著した一般向け科学書で広く知られるようになった。 ^{[ 6 ]}

ハリソンは、このパラドックスの満足のいく数学的解決策を最初に提示したのは、あまり知られていない1901年の論文でケルビン卿であったと主張している。 ^{[ 2 ]： 227}ケルビンはオルバースやシェスーを引用しておらず、メードラーの解決策も知らなかった。^{[ 6 ]}ケルビンの解決策はハーロー・シャプレーによって普及し、すぐにこの問題の標準的な解決策となった。^{[ 6 ]}

フラックス形式は、宇宙を厚さ 1 光年の同心円状のシェルに分割することで示すことができます。たとえば、1 つのシェルは 1,000,000,000 光年から 1,000,000,001 光年まで広がります。各シェルには一定数の星があります。宇宙が大規模に均質である場合、2 倍の距離にあるシェル、つまり 2,000,000,000 光年から 2,000,000,001 光年の間には、4 倍の数の星があります。しかし、2 番目のシェルは 2 倍の距離にあるため、その中の各星は最初のシェルの星の 4 分の 1 の明るさに見えます。したがって、2 番目のシェルから受け取る光の総量は、最初のシェルから受け取る光の総量と同じです。したがって、特定の厚さの各シェルは、その距離に関係なく、同じ正味の光量を生成します。各シェルの光は総量に加算されます。したがって、シェルの数が多いほど、光量も多くなります。そして無限の数の貝殻があれば、無限に明るい夜空が広がるだろう。^{[ 8 ]}

この無限モデルに介在するガスを加えると、遠方の星からの光は吸収されます。しかし、その吸収によってガスが加熱され、やがてガス自体が放射し始めます。この要素が加わると、空は無限に明るくなるわけではありませんが、空のあらゆる点は依然として星の表面のような状態になります。^{[ 9 ]}

フラックス版を説明する別の方法は、宇宙が膨張しておらず、常に同じ恒星密度を持っていたと仮定することです。そうすると、恒星がより多くの放射線を放出するにつれて、宇宙の温度は継続的に上昇します。約10²³^年後には、宇宙は恒星の平均表面温度に達するでしょう。^{[ 4 ]： 486}

フラックスのパラドックス形式は、フラックスが無限ではないため解決される。可視星の数は宇宙の年齢によって制限されるからである。^{[ 7 ]： 355}

このパラドックスの視線方向のバージョンは、無限のユークリッド宇宙において任意の方向に伸びる線を想像することから始まります。そのような宇宙では、線は星で終端し、したがって夜空全体が光で満たされるはずです。このバージョンは正しいことが知られていますが、一般相対性理論によって支配される膨張する私たちの宇宙では結果は異なります。終端点は、ビッグバンからの光が最初に現れた最後の散乱面 です。この光は、星の表面と同程度のエネルギーから2.73 Kまで劇的に赤方偏移しています。このような光は、地球上の人間の観測者には見えません。^{[ 7 ]： 355}

最近の観測では、直接観測に基づく銀河の推定数は10倍ほど少ないことが示唆されている。しかし、これはパラドックスの解決に実質的な影響を与えない。完全な説明には、有限の年齢と赤方偏移の組み合わせが関係しており、水素による紫外線吸収とその後の近赤外線波長での再放出も役割を果たしている。^{[ 10 ]}

1848年、ジョン・ハーシェルは、星が不均一に分布していればオルバースのパラドックスは解決できると考えた。その可能性の一つは、階層的なスケール分布を作り出すことである。リチャード・A・プロクターは1870年に著書『我々の世界以外の世界』の中でこの考えを提唱した。彼のモデルでは、下位の星系は階層的な上位の星系から距離が大きくなるにつれて分離され、宇宙全体から受け取る光は次第に小さくなる。1896年、カール・シャルリエは、オルバースのパラドックスとゼーリガーのパラドックスは宇宙が有限であることを示していると主張したが、階層モデルが代替案になり得ることを認めた。1908年、シャルリエは、星の密度が距離とともに急速に減少する階層的宇宙論の数学的モデルを発表し、それが無限の時間宇宙を可能にすると結論付けた。^{[ 6 ]}

アインシュタインの宇宙論の発展後、1922年のフランツ・セレティや1929年のルドヴィク・ジルバーシュタインといった物理学者たちは、代替案として階層モデルの開発と支持を続けた。^{[ 6 ]}

ビッグバンモデルで仮定されている赤方偏移は、宇宙が無限に古いとしても、夜空の暗さをそれ自体で説明できる。定常宇宙論では、宇宙は無限に古く、時間的にも空間的にも均一である。このモデルにはビッグバンはないが、任意の距離に星やクエーサーが存在する。宇宙の膨張により、これらの遠方の星やクエーサーからの光は赤方偏移し、空からの全光束は有限のままである。したがって、観測される放射密度（銀河系外背景光の空の明るさ）は、宇宙の有限性とは無関係になり得る。数学的には、プランクの法則から熱力学的平衡状態における全電磁エネルギー密度（放射エネルギー密度）は次のようになる。

$${\displaystyle u(T)={U(T) \over V}=\int _{0}^{\infty }{\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{B}T}}-1}}\,d\nu ={\frac {8\pi ^{5}(kT)^{4}}{15(hc)^{3}}},}$$

例えば、温度 2.7  K の場合、40  fJ/m ³  ...  4.5×10 ⁻³¹  kg/m ³であり、可視温度 6000 K の場合、 1 J/m ³ ... 1.1×10 ⁻¹⁷ kg/m ³ となります。しかし、星 (またはその他の宇宙天体) から放出される全放射は、星内の同位体の全核結合エネルギーに最大で等しくなります。観測可能な宇宙の密度が約 4.6×10 ⁻²⁸ kg/m ^{3であり、}化学元素の既知の存在量を考慮すると、対応する最大放射エネルギー密度は 9.2×10 ⁻³¹ kg/m ³、つまり温度 3.2 K (アーサー・エディントン^{[ 11 ] [ 12 ]}によって観測された光放射温度の値と一致) となります。これは、宇宙マイクロ波背景放射(CMB) と宇宙ニュートリノ背景放射の合計エネルギー密度に近い値です。しかし、定常状態モデルは、マイクロ波背景放射温度の角度分布を正確に予測しません（標準的なΛCDMパラダイムのように）。^{[ 13 ]}