ダンスキンの定理

凸解析において、ダンスキンの定理は、次の形式の 関数の導関数に関する情報を提供する定理である。$${\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}$$

この定理は最適化に応用されており、ミニマックス問題を解く際に用いられることがある。JM Danskinが1967年のモノグラフ^{[ 1 ]}で示した元の定理は、（必ずしも凸関数ではない）方向微分可能な関数の最大値の方向微分に関する公式を提供する。

より一般的な条件への拡張は、1971年にディミトリ・ベルツェカスによって証明された。

以下のバージョンは「非線形計画法」（1991年）で証明されている。^{[ 2 ]}仮定する${\displaystyle \phi (x,z)}$は2つの引数の 連続関数であり、$${\displaystyle \phi$$ :\mathbb {R} ^{n}\times Z\to \mathbb {R} } ただし$\displaystyle Z\subset \mathbb {R} ^{m}}$コンパクトなセットです。

これらの条件下では、ダンスキンの定理は関数の 凸性と微分可能性に関する結論を与える。$${\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}$$これらの結果を述べるために、最大化点の集合を定義する。${\displaystyle Z_{0}(x)}$として $${\displaystyle Z_{0}(x)=\arg \max _{z\in Z}\phi (x,z)=\left\{{\overline {z}}:\phi (x,{\overline {z}})=\max _{z\in Z}\phi (x,z)\right\}。}$$ダンスキンの定理は、以下の結果をもたらす。

ディミトリ・P・ベルツェカスによる1971年の博士論文（命題A.22）^{[ 3 ]}は、より一般的な結果を証明しており、${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$微分可能である。代わりに、${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$は、各 に対して拡張された実数値閉凸関数である。${\displaystyle z}$コンパクトセットで${\displaystyle Z,}$それ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f)),}$有効領域の内部${\displaystyle f,}$は空ではなく、${\displaystyle \phi }$集合上で連続である${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f))\times Z.}$そしてすべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f)),}$の劣微分${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$は $${\displaystyle \partial f(x)=\operatorname {conv} \left\{\partial \phi (x,z):z\in Z_{0}(x)\right\}}$$ どこ${\displaystyle \partial \phi (x,z)}$は、${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$で${\displaystyle x}$いかなる場合でも${\displaystyle z}$で${\displaystyle Z.}$

• 最大値定理
• 包絡線定理
• ホテリングの補題