ダムケラー数

ダムケラー数( Da ) は、化学反応の時間スケール (反応速度) とシステム内で発生する輸送現象の速度を関連付ける無次元数です。これは、化学工学、熱力学、流体力学の分野で活躍したドイツの化学者ゲルハルト・ダムケラーにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]} カルロヴィッツ数( Ka ) は、Da = 1/Ka の関係でダムケラー数と関連付けられます。

最も一般的に使用される形式では、第一ダムケラー数（Da _I）は、流体領域における粒子の特性滞留時間スケールと反応時間スケールを関連付けます。滞留時間スケールは、連続式（プラグフロー式または撹拌槽式）または半回分式化学プロセスにおける反応器を通過する体積流量などの対流時間スケールの形をとることができます。

$${\displaystyle \mathrm {Da_{\mathrm {I} }} ={\frac {\text{反応速度}}{\text{対流質量輸送速度}}}$$

界面物質輸送を含む反応系では、第一ダムケラー数は化学反応速度と物質移動速度の比として表すことができる。

$${\displaystyle \mathrm {Da} _{\mathrm {I} }={\frac {\text{反応速度}}{\text{拡散物質移動速度}}}}$$

また、流体特性時間スケールと化学特性時間スケールの比としても定義される。

$\displaystyle \mathrm {Da_{\mathrm {I} }} ={\frac {\text{流れの時間スケール}}{\text{化学の時間スケール}}}$

反応速度が反応時間スケールを決定するため、ダムケラー数の正確な式は速度法則の式によって変化します。n次べき乗則に従う一般的な化学反応A → Bの場合、対流流系のダムケラー数は次のように定義されます。

${\displaystyle \mathrm {Da_{\mathrm {I} }} =kC_{0}^{\ n-1}\tau }$

どこ：

• k =反応速度定数
• C ₀ = 初期濃度
• n =反応次数
• $\displaystyle \tau }$= 平均滞留時間または空間時間

一方、第2ダムケラー数（Da _II）は一般に次のように定義される。

${\displaystyle \mathrm {Da} _{\mathrm {II} }={\frac {kQ}{c_{p}\Delta T}}}$

これは、熱化学反応のプロセスエネルギー（非平衡ガスプロセスに関わるエネルギーなど）と関連するエンタルピー差（駆動力）を比較するものです。^{[ 1 ]}

反応速度に関して言えば：

${\displaystyle \mathrm {Da} _{\mathrm {II} }={\frac {kC_{0}^{n-1}}{k_{g}a}}}$

どこ

• k _gはグローバル質量輸送係数です
• aは界面積である

Da の値は、達成可能な変換度を素早く推定する指標となります。Da _{I が}無限大に近づくと、滞留時間が反応時間を大幅に超えるため、滞留期間中にほぼすべての化学反応が起こります。これは輸送律速の場合であり、反応速度が拡散速度よりもはるかに速いことを意味します。一方、Da _{I が}0 に近づくと、滞留時間が反応時間よりもはるかに短いため、流体粒子が反応場所を占める短い期間中に化学反応は起こりません。これは反応律速の場合であり、拡散速度が反応速度よりもはるかに速いことを意味します。同様に、Da _{II が}0 に近づくということは、化学反応のエネルギーが流れのエネルギーに比べて無視できるほど小さいことを意味します。ダムケラー数が無限大に近づく極限は、バーク・シューマン限界と呼ばれます。

経験則として、Daが0.1未満の場合、変換率は10%未満となり、Daが10より大きい場合、変換率は90%以上になると予想されます。^{[ 2 ]}

いくつかの種における一般的なモルバランスから${\displaystyle A}$CSTRの場合、定常状態と完全混合が仮定され、

$\displaystyle {\text{in}}-{\text{out}}+{\text{generation}}={\text{accumulation}}}$

${\displaystyle F_{A0}-F_{A}+r_{A}V=0}$

${\displaystyle F_{A}-F_{A0}=r_{A}V}$

体積流量が一定であると仮定すると${\displaystyle v_{0}}$これは、液体反応器またはモルの正味生成がない気相反応の場合に当てはまります。

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})v_{0}=r_{A}V}$

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})=r_{A}{\frac {V}{v_{0}}}}$

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})=r_{A}\タウ }$

ここで、空間時間は反応器の体積と体積流量の比として定義されます。これは、流体の塊が反応器を通過するのに必要な時間です。分解反応の場合、反応速度は濃度の何乗かに比例します。${\displaystyle A}$さらに、単一の反応の場合、変換率は制限反応物の観点から定義することができ、単純な分解の場合は、種である。${\displaystyle A}$

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})=-kC_{A}^{n}\tau }$

${\displaystyle ((1-X)C_{A0}-C_{A0})=-kC_{A0}^{n}\tau (1-X)^{n}}$

${\displaystyle X=kC_{A0}^{n-1}\tau (1-X)^{n}}$

${\displaystyle 0={\frac {(1-X)^{n}}{X}}-{\frac {1}{\rm {Da_{n}}}}}$

ご覧のとおり、ダムケラー数が増加すると、もう一方の項は減少する必要があります。結果として得られる多項式を解くことで、経験則に基づくダムケラー数の変換を求めることができます。あるいは、式をグラフ化し、逆ダムケラー数で与えられる直線との交点を確認することで、変換の解を求めることもできます。下のグラフでは、y軸が逆ダムケラー数、x軸が変換を表しています。経験則に基づく逆ダムケラー数は、破線の水平線で示されています。

• 極超音速流における熱化学的非平衡^{[ 3 ] [ 4 ]}
• 燃焼^{[ 5 ]}