クロムウェルの統治

統計学者デニス・リンドリー^[1]によって名付けられたクロムウェルの法則は、2 + 2が4に等しいなど、論理的に真または偽であるステートメントに適用される場合を除き、1（「イベントは確実に発生する」）または0（「イベントは確実に発生しない」）の事前確率の使用を避ける必要があると述べています。

これはオリバー・クロムウェルのことで、彼は1650年8月3日、ダンバーの戦いの直前にスコットランド教会の総会に手紙を書き、その中でよく知られ、頻繁に引用されるようになったフレーズを書いている。^[2]

どうか、キリストの心において、あなたが間違っている可能性を考えてください。

リンドリーは、確率を割り当てる際には「月が緑色のチーズでできている可能性を少し残しておくべきである。それは100万分の1ほど小さいかもしれないが、そうでなければ宇宙飛行士の軍団がそのチーズのサンプルを持って帰ってきたとしても、あなたは動じないだろう」と述べている。^[3]同様に、コインを投げて表か裏のどちらかが上を向く可能性を評価する際に、コインが端で着地し、その位置に留まる可能性は、わずかではあるが、ある。

仮説に割り当てられた事前確率が 0 または 1 の場合、ベイズの定理により、事後確率(証拠が与えられた場合の仮説の確率) も 0 または 1 に強制されます。つまり、どんなに強力な証拠でも、影響を与えることはできません。

算術および論理のステートメントにも適用されるクロムウェルの規則の強化版では、確率の最初の規則、つまり凸性規則 0 ≤ Pr( A ) ≤ 1 が 0 < Pr( A ) < 1 に変更されます。

ベイジアンダイバージェンス（悲観的）

ベイジアン意見の相違の例は、シャロン・バーチ・マクグレインの2011年の本の付録Aに基づいています。^[4]ティムとスーザンは、2枚の公平なコインと1枚の不公平なコイン（両面が表になっているコイン）を持っている見知らぬ人が、2枚の公平なコインのうち1枚を投げたのか、不公平なコインを投げたのかについて意見が一致しません。見知らぬ人はコインを3回投げましたが、毎回表が出ました。

ティムは、その見知らぬ人がコインをランダムに選んだと仮定します。つまり、各コインが選ばれる確率が 1/3 であるという事前確率分布を仮定します。ベイズ推定を適用して、ティムは、3 回連続で表が出るという結果が不正なコインによって達成された確率が 80% であると計算します。これは、各公正なコインが 3 回連続で表が出る可能性が 1/8 であるのに対し、不正なコインは 8/8 の確率であるためです。起こり得る 24 の同等の確率の可能性のうち、観察結果と一致する 10 件中 8 件は不正なコインによるものです。さらにコインを投げると、表が出るたびに、そのコインが不正なコインである確率が高くなります。裏が出なければ、この確率は 1 に収束します。しかし、裏が出れば、コインが不正である確率は直ちに 0 になり、永久に 0 のままになります。

スーザンは、見知らぬ人が公平なコインを選んだと仮定します (したがって、投げられたコインが不公平なコインである事前確率は 0 です)。その結果、スーザンは、不公平なコインが投げられて 3 回 (または連続して何回) 表が出る確率は 0 でなければならないと計算します。さらに表が出ても、スーザンは確率を変えません。ティムとスーザンの確率は、表が出る回数が増えても収束しません。

ベイズ収束（楽観的）

ベイジアン収束の意見の例は、ネイト・シルバーの2012年の著書『シグナルとノイズ：なぜ多くの予測は失敗するのか – しかし、いくつかは失敗するのか』にあります。^[5]「何かの確率が0パーセントだと主張する人が、確率が100パーセントだと主張する別の人と議論しても、まったく有益なことは何も実現されない」と述べた後、シルバーは、株式市場が60パーセント上昇する可能性があるシミュレーションについて説明しています。このシミュレーションでは、3人の投資家が、株式市場が強気相場にあるという最初の推測を10％、50％、90％で始めます。シミュレーションの終わり（グラフで表示）までに、「すべての投資家が、ほぼ（もちろん正確ではありませんが）100パーセントの確実性で強気相場にあると結論付けます」。

参照

参考文献

^ ジャックマン、サイモン（2009）社会科学のためのベイズ分析、Wiley。ISBN 978-0-470-01154-6 （電子書籍ISBN 978-0-470-68663-8 ）。
^ クロムウェル、オリバー（1650）：手紙129。
^ リンドリー、デニス (1991)。『Making Decisions』（第2版）。ワイリー。104ページ。ISBN 0-471-90808-8。
^ マクグレイン、シャロン・バーチ。(2011) 『死なない理論：ベイズの法則はいかにしてエニグマ暗号を解読し、ロシアの潜水艦を追跡し、2世紀にわたる論争から勝利を収めたか』ニューヘブン：エール大学出版局。ISBN 9780300169690 ; OCLC 670481486 死なない理論、Google ブックスの 263-265 ページ
^ シルバー、ネイト（2012年）。シグナルとノイズ：なぜ多くの予測は失敗するのか、そしていくつかは失敗するのか。ニューヨーク：ペンギン。pp. 258–261。ISBN 978-1-59-420411-1。

[1] ジャックマン、サイモン（2009）社会科学のためのベイズ分析、Wiley。ISBN 978-0-470-01154-6 （電子書籍ISBN 978-0-470-68663-8 ）。

[2] クロムウェル、オリバー（1650）：手紙129。

[3] リンドリー、デニス (1991)。『Making Decisions』（第2版）。ワイリー。104ページ。ISBN 0-471-90808-8。

[4] マクグレイン、シャロン・バーチ。(2011) 『死なない理論：ベイズの法則はいかにしてエニグマ暗号を解読し、ロシアの潜水艦を追跡し、2世紀にわたる論争から勝利を収めたか』ニューヘブン：エール大学出版局。ISBN 9780300169690 ; OCLC 670481486 死なない理論、Google ブックスの 263-265 ページ

[5] シルバー、ネイト（2012年）。シグナルとノイズ：なぜ多くの予測は失敗するのか、そしていくつかは失敗するのか。ニューヨーク：ペンギン。pp. 258–261。ISBN 978-1-59-420411-1。