オメガ圏論

数理論理学において、オメガ圏論とは、同型を除いて可算無限モデルをちょうど１つ持つ理論のことである。オメガ圏論は、κ = の特殊な場合である。  $\displaystyle \aleph _{0}}$ はκ-範疇性 のωに相当し、オメガ範疇理論はω-範疇理論とも呼ばれる。この概念は、可算な一階述語理論において最も重要である。

理論に関する多くの条件は、オメガ圏論の性質と同等である。1959年にエルヴィン・エンゲラー、チェスワフ・リル＝ナルジェフスキ、ラース・スヴェノニウスは、それぞれ独立にいくつかの条件を証明した。^{[ 1 ]}それにもかかわらず、文献では依然として、これらの条件の名前としてリル＝ナルジェフスキの定理が広く用いられている。定理に含まれる条件は、著者によって異なる。^{[ 2 ] [ 3 ]}

無限個のモデルを持つ可算な完全一階理論Tが与えられたとき、以下は同値である。

• 理論Tはオメガ圏論的である。
• Tの可算モデルはすべてオリゴモルフィックな自己同型群を持ちます(つまり、すべてのnに対してM ⁿ上には有限個の軌道が存在します)。
• Tの可算モデルには、オリゴモルフィックな自己同型群が存在する。^{[ 4 ]}
• 理論Tは、任意の自然数nに対して有限個のn型のみを実現するモデルを持ちます。つまり、ストーン空間S _n ( T ) は有限です。
• 任意の自然数nに対して、T は有限個のn型しか持たない。
• すべての自然数nに対して、すべてのn型は孤立している。
• 任意の自然数nに対して、 Tを法とする同値性を除いて、n 個の自由変数を持つ式は有限個しか存在しない。言い換えれば、任意のnに対して、Tのn番目のリンデンバウム・タルスキー代数は有​​限である。
• Tのすべてのモデルは原子です。
• Tの可算モデルはすべて原子モデルである。
• 理論Tは、可算な原子モデルと飽和モデルを持つ。
• 理論Tは飽和素数モデルを持つ。

有限関係言語上で同質な可算無限構造の理論は、オメガ圏論的である。^{[ 5 ]}より一般的には、一様局所有限なフレッセクラスのフレッセ極限の理論は、オメガ圏論的である。 ^{[ 6 ]}したがって、以下の理論はオメガ圏論的である。

• 端点を持たない稠密線形順序の理論（カントールの同型定理）
• ラドグラフの理論
• 任意の有限体上の無限線形空間の理論
• 原子を持たないブール代数の理論

• キャメロン、ピーター・J. (1990)、オリゴモルフィック置換群、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第152巻 、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-38836-8、Zbl 0813.20002 
• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1989) [1973], Model Theory , Elsevier, ISBN 978-0-7204-0692-4
• ホッジス、ウィルフリッド（1993）、『モデル理論』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-30442-9
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、『より短いモデル理論』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6
• Macpherson, Dugald (2011)、「均質構造の概観」、離散数学、311 (15): 1599–1634、doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024、MR 2800979 
• ポワザ、ブルーノ（2000）、『モデル理論入門：現代数理論理学入門』、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-98655-5
• Rothmaler, Philipp (2000), 『モデル理論入門』、ニューヨーク：Taylor & Francis、ISBN 978-90-5699-313-9