位相検出器の特性

位相検出器の特性は、位相検出器の出力を記述する位相差の関数です。

位相検出器の解析では、通常、信号（時間）領域と位相周波数領域でのPDモデルが考慮されます。^[1] この場合、位相周波数領域でのPDの適切な非線形数学モデルを構築するには、位相検出器の特性を見つける必要があります。PDの入力は高周波信号であり、出力には入力信号の位相差に対応する低周波エラー補正信号が含まれます。PD出力の高周波成分（存在する場合）を抑制するために、ローパスフィルタが適用されます。PDの特性は、PD出力（位相周波数領域）の信号がPD入力の位相差に依存することです。

PDのこの特性は、PDの実現と信号の波形の種類に依存します。PD特性を考慮すると、高周波振動に平均化法を適用し、時間領域での位相同期システムの非自律モデルの分析とシミュレーションから、位相周波数領域での自律動的モデルの分析とシミュレーションに移行することができます。^[2]

アナログ乗算器とローパス フィルタを使用して実装された従来の位相検出器を考えてみましょう。

ここで、およびは高周波信号、区分微分可能関数、は入力信号の波形、位相、およびはフィルタの出力を表す。およびが高周波条件を満たす場合（^{[3] [4]}を参照）、位相検出器特性は、時間領域モデルフィルタ出力が ${\displaystyle f^{1}(\theta ^{1}(t))}$${\displaystyle f^{2}(\theta ^{2}(t))}$${\displaystyle f^{1}(\theta )}$${\displaystyle f^{2}(\theta )}$${\displaystyle \theta ^{1,2}(t)}$${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle f^{1,2}(\theta )}$${\displaystyle \theta ^{1,2}(t)}$${\displaystyle \phi (\theta )}$

${\displaystyle g(t)=\int \limits _{0}^{t}f^{1}(\theta ^{1}(t))f^{2}(\theta ^{2}(t))dt}$

位相周波数領域モデルのフィルタ出力

${\displaystyle G(t)=\int \limits _{0}^{t}\varphi (\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))dt}$

ほぼ等しい:

${\displaystyle g(t)-G(t)\approx 0}$

高調波波形と積分フィルタ の単純なケースを考えてみましょう。${\displaystyle f^{1}(\theta )=\sin(\theta ),}$ ${\displaystyle f^{2}(\theta )=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t))\cos(\theta ^{2}(t))={\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))+{\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))}$

標準的なエンジニアリングの仮定では、フィルターは入力から上側サイドバンドを除去しますが、下側サイドバンドは 変更せずに残します。 ${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))}$${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))}$

その結果、正弦波の場合のPD特性は

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2}}\sin(\theta ).}$

高周波矩形波信号とを考えてみましょう。この信号に対しても同様のことが起こることがわかっています^[5]。矩形波の場合の特性は ${\displaystyle f^{1}(t)=\operatorname {sgn}(\sin(\theta ^{1}(t)))}$${\displaystyle f^{2}(t)=\operatorname {sgn}(\cos(\theta ^{2}(t)))}$

${\displaystyle \varphi (\theta )={\begin{cases}1+{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [-\pi ,0],\\1-{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [0,\pi ].\\\end{cases}}}$

区分的に微分可能な波形の一般的なケースを考えます 。${\displaystyle f^{1}(\theta )}$${\displaystyle f^{2}(\theta )}$

このクラスの関数はフーリエ級数で展開できる。

${\displaystyle a_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\sin(ix)dx,}$${\displaystyle b_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\cos(ix)dx,}$${\displaystyle c_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)dx,p=1,2}$

とのフーリエ係数。位相検出器の特性は ^{[2]である。}${\displaystyle f^{1}(\theta )}$${\displaystyle f^{2}(\theta )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=c^{1}c^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\bigg ( }(a_{l}^{1}a_{l}^{2}+b_{l}^{1}b_{l}^{2})\cos(l\シータ)+(a_{l}^{1}b_{l}^{2}-b_{l}^{1}a_{l}^{2})\sin(l\theta ){\bigg )}。 }$

明らかに、PD 特性は周期的、連続的であり、 で制限されます。 ${\displaystyle \varphi (\theta )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この結果に基づくモデリング手法は^{[6]に記載されている。}