位相同期ループ範囲

ホールドイン範囲、プルイン範囲（取得範囲）、およびロックイン範囲という用語は、位相ロックループベースの回路がさまざまな追加条件下でロックを達成できる周波数偏差範囲の概念を表すためにエンジニアによって広く使用されています。

1966年に出版された位相同期回路に関する古典的な書籍^{[1] [2]}では、ホールドイン、プルイン、ロックイン、およびPLLがロックを達成できる他の周波数範囲などの概念が紹介されました。これらは現在広く使用されています（たとえば、現代の工学文献^{[3] [4]}およびその他の出版物を参照）。通常、工学文献ではこれらの概念に対して非厳密な定義のみが与えられています。上記の概念に基づく定義を長年使用してきた結果、同期と通信に関するハンドブックでは、使用する前に定義を注意深く確認するようにというアドバイスが与えられました。^[5]その後、厳密な数学的定義がいくつか与えられました。^{[6] [7]}

Floyd M. Gardnerは、彼の有名な著書「Phaselock Techniques」の第1版で、ロックインの概念を紹介しました。^[8]何らかの理由で、入力とVCO間の周波数差がループ帯域幅よりも小さい場合、ループはサイクルのスリップなしでほぼ​​瞬時にロックアップします。この高速取得が可能な最大周波数差は、ロックイン周波数と呼ばれます。彼のロックイン周波数の概念とそれに対応するロックイン範囲の定義は人気を博し、今日ではさまざまな工学出版物に掲載されています。ただし、周波数差がゼロの場合でも、取得プロセス中にサイクルスリップが発生する可能性があるループの初期状態が存在する可能性があるため、ループの初期状態を考慮することはサイクルスリップ解析にとって最も重要であり、したがって、Gardnerのロックイン周波数の概念は厳密さを欠き、明確化が必要でした。

ガードナーは著書の第2版で「特定のロックイン周波数を正確に定義する自然な方法は存在しない」と述べ、「曖昧な現実にもかかわらず、ロックイン範囲は有用な概念である」と書いている。^{[9] [10]}

• ${\displaystyle \theta _{\Delta }(t)=\theta _{\text{ref}}(t)-\theta _{\text{VCO}}(t)}$ 入力（基準）信号と局部発振器（VCO、NCO）信号間の位相差。
• ${\displaystyle \theta _{\Delta }(0)}$ 入力信号と VCO 信号間の初期位相差。
• ${\displaystyle \omega _{\Delta }(t)={\dot {\theta }}_{\text{ref}}(t)-{\dot {\theta }}_{\text{VCO}}(t)}$入力信号周波数と VCO 信号間の周波数差。
• ${\displaystyle \omega _{\Delta }^{\text{free}}=\omega _{\text{ref}}-\omega _{\text{VCO}}^{\text{free}}}$入力信号周波数と VCO 自走周波数の周波数差。

一般に、 はVCO の初期入力にも依存することに注意してください。 ${\displaystyle \omega _{\Delta }^{\text{free}}\neq \omega _{\Delta }(0)}$${\displaystyle \omega _{\Delta }(0)}$

ロック状態の定義

ロック状態では、1) 位相誤差の変動は小さく、周波数誤差は小さくなります。2) PLL は、位相とフィルタ状態の小さな変動の後、同じロック状態に近づきます。

ホールドイン範囲の定義。

ロック状態が存在する周波数偏差の最大間隔はホールドイン範囲と呼ばれ、ホールドイン周波数と呼ばれる。^{[6] [7]}${\displaystyle 0\leq \left|\omega _{\Delta }^{\text{free}}\right|\leq \omega _{h}}$${\displaystyle \omega_{h}}$

フィルタの状態、VCO の位相と周波数、および入力信号の小さな変動の後にループがロック状態を再び達成する場合、周波数偏差の値はホールドイン範囲に属します。この効果は定常安定性とも呼ばれます。さらに、ホールドイン範囲内の周波数偏差の場合、入力周波数の小さな変化の後にループは新しいロック状態を再び達成します (追跡プロセス)。

捕捉範囲、捕捉範囲とも呼ばれる。^[11]

ループ電源が最初にオフにされ、その後電源がオンにされ、初期周波数差が十分に大きいと仮定します。ループは 1 ビート ノート内でロックされない可能性がありますが、VCO 周波数はゆっくりと基準周波数に向かって調整されます (取得プロセス)。この効果は、過渡安定性とも呼ばれます。プルイン範囲は、取得プロセスを可能にするこのような周波数偏差に名前を付けるために使用されます (たとえば、Gardner (1966、p. 40) および Best (2007、p. 61) の説明を参照してください)。 ${\displaystyle t=0}$

プルイン範囲の定義。

プルイン範囲とは、 PLLが任意の初期位相、初期周波数、フィルタ状態に対してロックを獲得できる周波数偏差の最大間隔である。ここではプルイン周波数と呼ばれる。^{[6] [7] [12]}${\displaystyle 0\leq \left|\omega _{\Delta }^{\text{free}}\right|\leq \omega _{p}}$${\displaystyle \omega _{p}}$

プルイン範囲の信頼性の高い数値解析の困難さは、回路の動的モデルに隠れたアトラクターが存在することによって引き起こされる可能性がある。 ^{[13] [14] [15]}

PLL が最初にロックされていると仮定します。その後、基準周波数が突然急激に変更されます (ステップ変更)。プルイン範囲により、PLL が最終的に同期することが保証されますが、このプロセスには長い時間がかかる場合があります。このような長い取得プロセスは、サイクル スリッピングと呼ばれます。 ${\displaystyle \omega _{1}}$

初期位相偏差と最終位相偏差の差が より大きい場合、サイクルスリップが発生すると 言います。${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \exists t>T_{\text{lock}}:\left|\theta _{\Delta }(0)-\theta _{\Delta }(t)\right|\geq 2\pi .}$

ここでは、差の限界や差の最大値が考慮されることがある^[16]

ロックイン範囲の定義。

ループがロック状態にある場合、ロックイン範囲内で周波数が急激に変化した後、PLLはサイクルスリップなしでロックを獲得します。ここで、ロックイン周波数と呼ばれます。^{[6] [7] [17]}${\displaystyle \omega _{\Delta }^{\text{free}}}$ ${\displaystyle \left|\omega _{\Delta }^{\text{free}}\right|\leq \omega _{\ell }}$${\displaystyle \omega _{\ell }}$