コロナ定理

数学において、コロナ定理は、開単位円板上の有界正則関数のスペクトルに関する結果であり、角谷 (1941) によって予想され、 レナート・カールソン (1962) によって証明されました。

可換バナッハ代数とハーディ空間 H ^∞は、開単位円板D上の有界正則関数から構成される。そのスペクトルS (閉極大イデアル)には、 D が開部分空間として含まれる。なぜなら、D内の各zに対して、次の 関数fからなる極大イデアルが存在するからである 。

ｆ（z）＝０です。

部分空間D はスペクトルS全体を構成できない。これは本質的にスペクトルがコンパクト空間であるのに対しD はコンパクト空間ではないためである。 SにおけるDの閉包の補集合はNewman (1959) によってコロナと呼ばれ、コロナ定理はコロナが空であること、言い換えれば開いた単位円Dがスペクトル内で稠密であることを述べている。より基本的な定式化は、要素f ₁ ,..., f _{n が}H ^∞の単位イデアルを生成するには、δ>0 が存在し、

${\displaystyle |f_{1}|+\cdots +|f_{n}|\geq \delta }$ユニットボールのどこにでも。

ニューマンはコロナ定理が補間問題に還元できることを示し、それはカールソンによって証明された。

1979 年にトーマス・ウォルフは、(Koosis 1980) と (Gamelin 1980) で説明されているコロナ定理の簡略化された (ただし未発表の) 証明を与えました。

コールは後に、この結果がすべての開いたリーマン面には拡張できないことを示した(Gamelin 1978)。

カールソンの研究の副産物として、カールソン測度が導入されましたが、これは現代の関数理論では非常に便利なツールです。コロナ定理のバージョンがすべての平面領域または高次元領域に存在するかどうかは未解決の問題です。

コロナ定理において境界までの連続性を仮定すると、可換バナッハ代数の理論から結論が簡単に導かれることに注意してください (Rudin 1991)。

• コロナセット

• カールソン、レナート(1962)、「有界解析関数による補間とコロナ問題」、Annals of Mathematics、76 (3): 547–559、doi :10.2307/1970375、JSTOR  1970375、MR  0141789、Zbl  0112.29702
• Gamelin, TW (1978)、「均一代数とジェンセン測度」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第32巻、ケンブリッジ-ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、pp. iii+162、ISBN 978-0-521-22280-8、MR  0521440、Zbl  0418.46042
• Gamelin, TW (1980)、「Wolff のコロナ定理の証明」、イスラエル数学ジャーナル、37 (1–2): 113–119、doi :10.1007/BF02762872、MR  0599306、Zbl  0466.46050
• 角谷 静雄 (1941). 「抽象 (M) 空間の具体的表現 (連続関数の空間の特徴付け)」.数学年報. シリーズ 2. 42 (4): 994–1024. doi :10.2307/1968778. hdl : 10338.dmlcz/100940 . JSTOR  1968778. MR  0005778.
• Koosis, Paul (1980)、「H ^p空間入門。Wolff のコロナ定理の証明に関する付録付き」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第 40 巻、ケンブリッジ - ニューヨーク:ケンブリッジ大学出版局、pp. xv+376、ISBN 0-521-23159-0、MR  0565451、Zbl  0435.30001
• ^{ニューマン、DJ (1959)、「H ∞}の最大理想構造に関するいくつかのコメント」、数学年報、70 (2): 438–445、doi :10.2307/1970324、JSTOR  1970324、MR  0106290、Zbl  0092.11802
• ルディン、ウォルター（1991）、機能分析、p.279。
• Schark, IJ (1961)、「有界解析関数の代数における最大イデアル」、数学と力学ジャーナル、10 : 735–746、MR  0125442、Zbl  0139.30402。