階級論理

クラス論理は、そのオブジェクトがクラスと呼ばれる広義の論理です。より狭義では、クラスがその要素の特性によって記述される場合にのみ、クラス論理と呼ばれます。したがって、このクラス論理は、クラスを限定的に考慮する 集合論の一般化です。

厳密な意味での最初のクラス論理は、 1889年にジュゼッペ・ペアノによって算術の基礎として作成されました（ペアノ公理）。彼はクラス項を導入しました。これは、クラスをその要素の特性を通じて形式的に正しく記述します。今日、クラス項は{x|A(x)}の形式で表されます。ここで、A(x)は任意のステートメントであり、すべてのクラスメンバーxが満たします。ペアノはクラス項を初めて公理化し、完全に使用しました。 ゴットロープ・フレーゲも1893年にクラス項を使用して算術論理を確立しようとしました。バートランド・ラッセルは1902年にこれに矛盾を発見し、ラッセルのパラドックスとして知られるようになりました。その結果、クラス項を安全に使用できないことが一般に知られるようになりました。

この問題を解決するために、ラッセルは1903年から1908年にかけて型理論を展開したが、これはクラス項の使用を制限していた。数学者の間では、ラッセルの型理論は、エルンスト・ツェルメロ^{[明確化が必要]}が始めた集合論の別の公理化に取って代わられた。この公理化は、現在の形式 (ツェルメロ-フランケルまたは NBG) ではクラス項を公理化せず、実用的な表記法としてのみ使用するため、狭義のクラス論理ではない。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは、1937年にツェルメロ-フランケルの代替として意図された型理論に基づいて、集合論の新基礎(NF) を説明した。1940年にクワインはNFを数理論理学 (ML) に発展させた。Burali-Fortiの二律背反はMLの最初のバージョンで導出されたため、 ^[1] Quineはクラスの広範な使用を維持しながらMLを明確にし、1963年にHao Wang ^[2]が仮想クラスとして{x|A(x)}の理論で導入した提案を取り上げました。これにより、クラスはまだ完全な用語ではありませんが、定義されたコンテキスト内のサブ用語になります。^[3]

クワインの後、アーノルド・オーバーシェルプは1974 年に初めて完全に機能する現代の公理的クラス論理を開発した。これは述語論理の一貫した拡張であり、クラス項 (ペアノなど) を無制限に使用できる。^{[4]これは、}素朴集合論の二律背反を生み出すすべてのクラスを項として使用する。これが可能なのは、この理論がクラスに対する公理を存在しないと仮定しているためである。特に任意の数の公理を前提としているが、それらをクラス項を使用して構文的に正しく表現して、伝統的に単純な設計にすることもできる。たとえば、オーバーシェルプ集合論は、クラス論理の枠組み内でツェルメロ-フランケル集合論を展開した。 ^[5] 3 つの原理により、扱いにくい ZF 式を便利なクラス式に変換できることが保証される。ZF 言語でのクラス論理の増加を保証する。量なしで形成される公理と述語論理の公理の組み合わせ。一般クラスの単純な論理に対する公理システム。^[6]

抽象化の原則 ( Abstraktionsprinzip ) では、クラスは論理プロパティを介して要素を記述します。

${\displaystyle \forall y\colon (y\in \{x\mid A(x)\}\iff A(y))}$

外延性の原理 ( Extensionalitätsprinzip ) は、クラスの要素を一致させることによってクラスの等価性を記述し、 ZF の外延性の公理を排除します。

${\displaystyle A=B\iff \forall x\colon (x\in A\iff x\in B)}$

内包の原則( Komprehensionsprinzip )は、要素としてのクラスの存在を決定します。

${\displaystyle \{x\mid A(x)\}\in B\iff \exists y\colon (y=\{x\mid A(x)\}\land y\in B)}$

• ジュゼッペ・ペアノ:算術原理。ノヴァメソッドエクスポジタ。 1889 年トリノ、コルソ (Auch in: Giuseppe Peano: Opere scelte. Band 2. Cremonese、Rom 1958、S. 20–55)。
• G. Frege : Grundgesetze der Arithmetik。 Begriffsschriftlich abgeleitet。バンド 1. ポール、イエナ 1893 年。
• ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン：数学論理学の新しい基礎、アメリカ数学月刊誌44（1937年）、70-80ページ。
• ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン『集合論とその論理』改訂版。ハーバード大学出版局、マサチューセッツ州ケンブリッジ、1969年ISBN  0-674-80207-1。
• アーノルド・オーバーシェルプ: Elementare Logik und Mengenlehre (= BI-Hochschultaschenbücher 407–408)。 2 バンデ。 Bibliographisches Institut、マンハイム、1974 ～ 1978 年、ISBN 3-411-00407-X (Bd. 1)、ISBN 3-411-00408-​​8 (Bd. 2)。  
• Albert Menne Grundriß der formalen Logik (= Uni-Taschenbücher 59 UTB für Wissenschaft )。Schöningh、Paderborn 1983、ISBN 3-506-99153-1 (第 5 版からGrundriß der Logistikに改名– この本は、他の計算とともに、命題計算と述語計算に基づいたクラス論理への計算の可能な適用を示し、形式システムの基本用語をクラス論理に持ち込みました。また、パラドックスと型理論についても簡単に説明しています。) 
• ユルゲン・ミヒャエル・グルブレヒト、アーノルド・オーバーシェルプ、ギュンター・トッド:クラッセンロジック。 Bibliographisches Institut、マンハイム、1983 年、ISBN 3-411-01634-5。 
• アーノルド・オーバーシェルプ：アルゲマイネ・メンゲンレーレ。 BI-Wissenschafts-Verlag、マンハイム、1994 年、ISBN 3-411-17271-1。