チェルノフ分布

確率論において、ハーマン・チェルノフにちなんで名付けられたチェルノフ分布は、ランダム変数の確率分布である。

${\displaystyle Z={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-s^{2}),}$

ここでWは「両側」ウィーナー過程（または両側「ブラウン運動」）であり、 W (0) = 0を満たす。

${\displaystyle V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-c(sa)^{2}),}$

すると、V (0,  c ) の密度は

${\displaystyle f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)}$

ここでg _{c は}フーリエ変換で与えられる 。

${\displaystyle {\hat {g}}_{c}(s)={\frac {(2/c)^{1/3}}{\operatorname {Ai} (i(2c^{2})^{-1/3}s)}},\ \ \ s\in \mathbf {R} }$

ここでAiはエアリー関数である。したがってf _{c は}0を中心に対称で、密度 ƒ _Z  =  ƒ _1である。Groeneboom (1989) ^[1]は、

${\displaystyle f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3}|z|}{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}|z|^{3}+2^{1/3}{\tilde {a}}_{1}|z|\right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

ここで はエアリー関数 Ai の最大の零点であり、 である。同じ論文で、Groeneboom はプロセスの解析も行っている。単調密度を推定する統計的問題との関連は Groeneboom (1985) で議論されている。^{[2]チェルノフ分布は現在、}等温回帰を含む幅広い単調問題に現れることが知られている。^[3]${\displaystyle {\tilde {a}}_{1}\approx -2.3381}$${\displaystyle \operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})\approx 0.7022}$ ${\displaystyle \{V(a,1):a\in \mathbf {R} \}}$

チェルノフ分布は、チェルノフ情報によって誘導される チェルノフ幾何分布^{[4] （情報幾何学ではチェルノフ点と呼ばれる）と混同してはならない。}

Groeneboom、Lalley、Temme ^[5]は、この分布の最初の研究はおそらく 1964 年の Chernoff ^{[6]によるもので、彼は}モードの特定の推定量の挙動を研究したと述べています。 Chernoff は論文で、適切な境界条件を持つ熱方程式を介した解析的表現により分布を特徴付けました。しかし、熱方程式を解くことで Chernoff の分布を近似する初期の試みは、境界条件の性質上、十分な精度を達成できませんでした。^[5]分布の計算については、たとえば Groeneboom と Wellner (2001) で取り上げられています。^[7]

チェルノフ分布とエアリー関数の関係は、ダニエルズとスカイルム^[8]とテム^[9]によって独立に発見され、グローネブーム、ラリー、テムに引用されている。これら2つの論文はグローネブーム(1989)とともに1984年に執筆された。^[5]