連鎖律（確率）

確率論において、連鎖律^[1]（一般積則^{[2] [3]とも呼ばれる）は、}条件付き確率を用いて、必ずしも独立ではない事象の交差の確率、またはランダム変数の結合分布の確率を計算する方法を記述する。この規則により、結合確率を条件付き確率のみで表現することができる。^{[4]この規則は、離散}確率過程の文脈や、条件付き確率で確率分布を記述するベイジアンネットワークの研究などの応用において特に使用される。

2つの事象 とに対して、連鎖律によれば、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)}$、

ここで、 は与えられたの条件付き確率を表します。 ${\displaystyle \mathbb {P} (B\mid A)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

壷 A には黒ボールが 1 個と白ボールが 2 個入っており、壷 B には黒ボールが 1 個と白ボールが 3 個入っています。壷をランダムに 1 つ選び、その壷からボールを​​ 1 個選ぶとします。イベントを最初の壷を選ぶこと、つまりとします。ここではの補完イベントです。イベントを白ボールを選ぶ確率とします。最初の壷を選んだ場合に白ボールを選ぶ確率は です。そして、交点は最初の壷とそこからの白ボールの選択を表します。確率は連鎖律によって次のように計算できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} ({\overline {A}})=1/2}$${\displaystyle {\overline {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {P} (B|A)=2/3.}$${\displaystyle A\cap B}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.}$

交差の確率がゼロではないイベントについては、連鎖律によれば、 ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\\&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{n-1}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\mathbb {P} \left(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\\&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{n-1}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{n}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\\&=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{k-1})\\&=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} \left(A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right).\end{aligned}}}$

、つまり4つのイベントの場合、連鎖律は次のようになる。 ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\end{aligned}}}$。

52 枚のカードのデッキから、4 枚のカードをランダムに (一度に 1 枚ずつ) 取り替えずに引きます。4 枚のエースを選ぶ確率はどれくらいでしょうか。

まず、 と設定します。明らかに、次の確率が得られます。 ${\textstyle A_{n}:=\left\{{\text{draw an ace in the }}n^{\text{th}}{\text{ try}}\right\}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})={\frac {4}{52}},\qquad \mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})={\frac {3}{51}},\qquad \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})={\frac {2}{50}},\qquad \mathbb {P} (A_{4}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{49}}}$。

連鎖律を適用すると、

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})={\frac {4}{52}}\cdot {\frac {3}{51}}\cdot {\frac {2}{50}}\cdot {\frac {1}{49}}={\frac {24}{6497400}}}$。

を確率空間とする。与えられたものの条件付き確率は次のように定義される。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A\mid B):={\begin{cases}{\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},&\mathbb {P} (B)>0,\\0&\mathbb {P} (B)=0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

すると次の定理が成り立ちます。

2つの離散確率変数 に対して、上記の定義でイベントと を使用し、結合分布を次のように求めます。 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle A:=\{X=x\}}$${\displaystyle B:=\{Y=y\}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X=x,Y=y)=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y)\mathbb {P} (Y=y),}$

または

${\displaystyle \mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)=\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb {P} _{Y}(y),}$

ここで、 はの確率分布であり、は与えられたの条件付き確率分布です。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(x):=\mathbb {P} (X=x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

を確率変数、を とする。条件付き確率の定義により、 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\mathbb {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)}$

そして連鎖律を用いると、 と設定すると、結合分布は次のように求められる。 ${\displaystyle A_{k}:=\{X_{k}=x_{k}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1},\ldots X_{n}=x_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\mathbb {P} \left(X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\\&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\cdot \ldots \\&\qquad \cdot \mathbb {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1})\\\end{aligned}}}$

については、つまり3つのランダム変数を考えると、連鎖律は次のようになる。 ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} _{(X_{1},X_{2},X_{3})}(x_{1},x_{2},x_{3})&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} _{X_{3}\mid X_{2},X_{1}}(x_{3}\mid x_{2},x_{1})\mathbb {P} _{X_{2}\mid X_{1}}(x_{2}\mid x_{1})\mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1}).\end{aligned}}}$

• René L. Schilling (2021)、「測定、積分、確率と過程 - 確率的(理論的)理論的最小値」 (1版)、ドレスデン工科大学、ドイツ、ISBN 979-8-5991-0488-9{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• ウィリアム・フェラー（1968年）「確率論とその応用入門」第1巻（第3版）、ニューヨーク/ロンドン/シドニー：ワイリー、ISBN 978-0-471-25708-0
• ラッセル、スチュアート J. ;ノーヴィグ、ピーター(2003)、人工知能: 現代的アプローチ (第 2 版)、アッパー サドル リバー、ニュージャージー: プレンティス ホール、ISBN 0-13-790395-2、496ページ。