中心トロコイド

幾何学において、中心トロコイドとは、ある円が別の円に沿って転がることで形成されるルーレットのことです。つまり、円が固定された円に沿って滑ることなく転がるときに、円に取り付けられた点が描く経路です。この用語には、上トロコイドと下トロコイドの両方が含まれます。この曲線の中心は、固定された円の中心であると定義されます。

あるいは、中心トロコイドは、円周上を等速で移動する2つのベクトルの和が描く経路として定義することもできます。具体的には、中心トロコイドは、複素平面上で次のように パラメータ化できる曲線です。

${\displaystyle z=r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t},\,}$

またはデカルト平面上で

${\displaystyle x=r_{1}\cos(\omega _{1}t)+r_{2}\cos(\omega _{2}t),}$

${\displaystyle y=r_{1}\sin(\omega _{1}t)+r_{2}\sin(\omega _{2}t),\,}$

どこ

${\displaystyle r_{1},r_{2},\omega _{1},\omega _{2}\neq 0,\quad \omega _{1}\neq \omega _{2}.\,}$

が有理数である場合、曲線は閉じており、代数的です。そうでない場合、曲線は原点の周りを無限回巻き、外半径と内半径の環状領域で密です。 ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$${\displaystyle |r_{1}|+|r_{2}|}$${\displaystyle ||r_{1}|-|r_{2}||}$

ほとんどの著者は、エピトロコイドを別の円の外側を回る円のルーレット、ヒポトロコイドを別の円の内側を回る円のルーレット、トロコイドを線に沿って転がる円のルーレットの意味で使用しています。ただし、一部の著者（たとえば、F. Morleyに従う [1] ）は、「トロコイド」を別の円に沿って転がる円のルーレットの意味で使用していますが、これはより一般的な用語と一致していません。[2] で採用されているCentered trochoidという用語は、エピトロコイドとヒポトロコイドを1 つの概念に組み合わせて数学的な説明を合理化し、既存の標準と一致しています。

トロコイド曲線という用語は、エピトロコイド、ヒポトロコイド、トロコイドを表します（[3]を参照）。トロコイド曲線は、円または直線上（ただし両方が直線上を移動しない）で等速で移動する2つのベクトルの合計によって描かれるパスとして定義できます。

上記のパラメトリック方程式では、と が同じ符号を持つ 場合、曲線はエピトロコイドであり、 が反対符号を持つ場合、曲線はヒポトロコイドです。${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

半径 の円が半径 の円上を転がり、点が回転する円に接しているとします。固定曲線は としてパラメータ化でき、回転曲線は または としてパラメータ化できます。これは、パラメータ化が固定曲線のパラメータ化と同じ方向に円を横切るか、反対方向に横切るかによって異なります。どちらの場合も、を使用できます。が回転する円に で接しているとします。次に、ルーレットの公式を適用すると、点は次に示す曲線を描きます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(t)=ae^{it}}$${\displaystyle r(t)=be^{i(a/b)t}}$${\displaystyle r(t)=-be^{-i(a/b)t}}$${\displaystyle r(t)=ce^{i(a/c)t}}$${\displaystyle |c|=b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)+(dr(t)){f'(t) \over r'(t)}&=ae^{it}+(d-ce^{i(a/c)t}){aie^{it} \over aie^{i(a/c)t}}\\&=(ac)e^{it}+de^{i(1-a/c)t}.\end{aligned}}}$

これは、、、、を使用した 上記のパラメータ化です 。${\displaystyle r_{1}=ac}$${\displaystyle r_{2}=d}$${\displaystyle \omega _{1}=1}$${\displaystyle \omega _{2}=1-a/c}$

逆に、、、、およびが与えられた場合、曲線は として再パラメータ化することができ 、方程式 、、 は、およびについて 解くことができ、${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}}$${\displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{i(\omega _{2}/\omega _{1})t}}$${\displaystyle r_{1}=ac}$${\displaystyle r_{2}=d}$${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}=1-a/c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a=r_{1}(1-\omega _{1}/\omega _{2}),\ c=-r_{1}{\omega _{1}/\omega _{2}},\ d=r_{2}.}$

指数 1 と 2 が逆になっても曲線は同じままですが、、および の結果の値は一般に同じではありません。これにより、二重生成定理が生成されます。これは、以下で説明する特殊なケースを除いて、円が別の円の上を転がるルーレットのように、任意の中心トロコイドが 2 つの本質的に異なる方法で生成できることを示しています。 ${\displaystyle r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

カーディオイドはによってパラメータ化されます。 をとってを得ます。 円は両方とも半径 1 で、c < 0 なので、回転する円は固定された円の外側を回転しています。点 p は回転の中心から 1 単位離れているため、円周上にあります。これがカーディオイドの通常の定義です。 曲線を としてパラメータ化することもできるので、 をとって を得る こともできます。 この場合、固定された円の半径は 1、回転する円の半径は 2 で、c > 0 なので、回転する円はフラフープのように固定された円の周りを回転します。 これにより、同じ曲線の本質的に異なる定義が生成されます。 ${\displaystyle 2e^{it}-e^{2it}}$${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=-1,\omega _{1}=1,\omega _{2}=2}$${\displaystyle a=2(1-1/2)=1,c=-2(1/2)=-1,d=-1}$${\displaystyle -e^{2it}+2e^{it}}$${\displaystyle r_{1}=-1,r_{2}=2,\omega _{1}=2,\omega _{2}=1}$${\displaystyle a=-1(1-2)=1,b=-(-1)(2)=2,d=2.}$

の場合、パラメトリック曲線、または を 取得します。 の場合、これは軸とを持つ楕円の方程式です。前と同じように、、 、およびを評価すると、または のいずれかになります。 これにより、楕円を生成する 2 つの異なる方法が得られます。どちらの方法でも、直径が 2 倍の円の内側を円が転がります。 ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2}}$${\displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{-it}}$${\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\cos t,y=(r_{1}-r_{2})\sin t\,\!}$${\displaystyle |r_{1}|\neq |r_{2}|}$${\displaystyle 2|r_{1}+r_{2}|}$${\displaystyle 2|r_{1}-r_{2}|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a=2r_{1},c=r_{1},d=r_{2}\,\!}$${\displaystyle a=2r_{2},c=r_{2},d=r_{1}\,\!}$

さらに、 の横に がある場合、と の両方のケースで、曲線を生成する 2 つの方法は同じになります。 この場合、曲線は単純にまたは x 軸の線分になります。 ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2}}$${\displaystyle r_{1}=r_{2}=r}$${\displaystyle a=2r,b=r,c=r\,\!}$${\displaystyle x=2r\cos t,y=0\,\!}$

同様に、 の場合はまたは です。円は原点について対称なので、これらは両方とも同じ円のペアになります。この場合、曲線は単に、つまり y 軸の線分です。 ${\displaystyle r_{1}=r,r_{2}=-r\,\!}$${\displaystyle a=2r,c=r,d=-r\,\!}$${\displaystyle a=-2r,c=-r,d=r\,\!}$${\displaystyle x=0,y=2r\sin t\,\!}$

したがって、このケースは、上で述べた双対生成定理の例外（実際には唯一の例外）です。曲線が直線セグメントであるこの退化したケースは、Tusi カップルの基礎となります。 ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2},\ |r_{1}|=|r_{2}|}$

• mathcurve.com の「中心トロコイド」
• mathcurve.com の「Epitrochoid」
• mathcurve.com の「Hypotrochoid」
• mathcurve.com の「Peritrochoid」
• イェーツ、RC:曲線とその特性に関するハンドブック、JW エドワーズ (1952)、「トロコイド」
• トロコイド: 回転する円によって生成される曲線

• Mathworld の Epitrochoid
• Mathworld の Hypotrochoid
• 特殊平面曲線のビジュアル辞書
• 特殊平面曲線のビジュアル辞書
• Springer Online Encyclopaedia of Mathematics の「トロコイド」