コーシーの推定

数学、特に複素解析において、コーシーの推定は正則関数の導関数の局所的な境界を与えます。これらの境界は最適です。

コーシーの推定値はコーシーの不等式とも呼ばれますが、コーシー・シュワルツの不等式と混同しないでください。

を の開球上の正則関数とする。が上ののsupである場合、コーシーの推定によれば^[1]、各整数 に対して、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle B(a,r)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle B(a,r)}$${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle |f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}M}$

ここで はのn次複素微分、つまり であり、です（ Wirtinger 微分 § 複素微分との関係を参照）。 ${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'={\frac {\partial f}{\partial z}}}$${\displaystyle f^{(n)}=(f^{(n-1)})^{'}}$

さらに、上記の見積もりは改善できないことを示しています。 ${\displaystyle f(z)=z^{n},a=0,r=1}$

例えば、系として、リウヴィルの定理が得られます。これは、有界な整関数は定数である（確かに、推定値も含める）というものです。もう少し一般的には、 が、ある定数とある整数に対してで有界な整関数である場合、 は多項式です。^[2]${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A+B|z|^{k}}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle f}$

まず、コーシーの積分公式を に適用します。これはに対して次の式を与えます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |z-a|<r'}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

ここで、積分記号（複素変数）の下での微分により、 ^[3]次の式が得られます。 ${\displaystyle r'<r}$

${\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw.}$

したがって、

${\displaystyle |f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!M}{2\pi }}\int _{|w-a|=r'}{\frac {|dw|}{|w-a|^{n+1}}}={\frac {n!M}{{r'}^{n}}}.}$

これで証明は終わりです。${\displaystyle r'\to r}$${\displaystyle \square }$

(証明は、 を開円板全体の sup とする必要がないことを示していますが、最大原理により、 sup を近くの境界に制限しても は変化しません。) ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ここでは、より一般的だが正確性に欠ける推定値を示す。^[4]開集合、コンパクト集合、整数 が与えられたとき、上の任意の正則関数に対して、 ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle K\subset U}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \sup _{K}|f^{(n)}|\leq C\int _{U}|f|\,d\mu }$

ルベーグ測度は どこですか。${\displaystyle d\mu }$

この推定は、コーシーの積分公式（一般形）を に適用することで得られます。ここで はの近傍にある滑らかな関数であり、そのサポートは 内にあります。確かに を縮小すると、は有界であり、 の境界は区分的に滑らかであると仮定します。すると なので、積分公式により、 ${\displaystyle u=\psi f}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle =1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \partial u/\partial {\overline {z}}=f\partial \psi /\partial {\overline {z}}}$

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial U}{\frac {u(z)}{w-z}}\,dw+{\frac {1}{2\pi i}}\int _{U}{\frac {f(w)\partial \psi /\partial {\overline {w}}(w)}{w-z}}\,dw\wedge d{\overline {w}}}$

においてとなります(は点になる可能性があるため、が 内にあると仮定することはできません)。ここで、 のサポートは内にあるため、右側の最初の項はゼロです。また、 のサポートはに含まれています。したがって、積分記号の下で微分すると、主張されている推定値が続きます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle z}$${\displaystyle K}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \partial \psi /\partial {\overline {w}}}$${\displaystyle U-K}$

上記の推定を応用すると、スティルチェス・ヴィタリ定理^[5]が得られます。これは、各コンパクト部分集合上で有界な開部分集合上の正則関数の列には、各コンパクト部分集合に収束する部分列 (その極限はコーシー・リーマン方程式を満たすため、必然的に正則関数に収束する) があるというものです。実際、この推定は、そのような列が各コンパクト部分集合上で等連続であることを意味します。したがって、アスコリの定理と対角線上の議論は、主張されている部分列を与えます。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$

コーシーの推定は、多変数の正則関数に対しても有効である。すなわち、多円板上の正則関数に対して、次の式が得られる。^[6]各多項式に対して、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle U=\prod _{1}^{n}B(a_{j},r_{j})\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$

${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial }{\partial z}}^{\alpha }f\right)(a)\right|\leq {\frac {\alpha !}{r^{\alpha }}}\sup _{U}|f|}$

ここで、、および。 ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \alpha !=\prod {\alpha }_{j}!}$${\displaystyle r^{\alpha }=\prod r_{j}^{\alpha _{j}}}$

1変数の場合と同様に、これは多円板におけるコーシーの積分公式から導かれる。§ 関連する推定値とその帰結は、同じ証明により複数の変数でも有効であり続ける。^[7]

• テイラーの定理

• ヘルマンダー、ラース（1990）[1966]、「複素解析入門（第3版）」、北ホラント、ISBN 978-1-493-30273-4
• ルディン、ウォルター(1986)。実数と複素数の解析 (純粋および応用数学の国際シリーズ)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-054234-1。

• https://math.stackexchange.com/questions/114349/how-is-cauchys-estimate-derived/114363