カーマイケルのトーシェント関数予想

数学において、カーマイケルのトーシェント関数予想は、オイラーのトーシェント関数の値が複数存在する可能性に関するものである。${\displaystyle \varphi (n)}$これは、より小さく、互いに素な整数の数を数えるものです。${\displaystyle n}$。それは、すべての${\displaystyle n}$少なくとももう1つの整数が存在する${\displaystyle m\neq n}$そのため${\displaystyle \varphi (m)=\varphi (n)}$ロバート・カーマイケルは1907年にこの予想を初めて提唱したが、それは予想というより定理としてであった。しかし 、彼の証明には欠陥があり、1922年に彼はその主張を撤回し、この予想を未解決問題として発表した。

トーシェント関数${\displaystyle \varphi (n)}$2に等しいのは${\displaystyle n}$は 3、4、6 の 3 つの値のいずれかです。したがって、これら 3 つの値のいずれかを${\displaystyle n}$そうすれば、他の2つの値のいずれかを${\displaystyle m}$そのために${\displaystyle \varphi (m)=\varphi (n)}$。

同様に、トーシェントは 4 に等しい。${\displaystyle n}$は 5、8、10、12 の 4 つの値のいずれかであり、 の場合 6 に等しくなります。${\displaystyle n}$は、7、9、14、18 の 4 つの値のいずれかです。いずれの場合も、 の値は複数存在します。${\displaystyle n}$同じ値を持つ${\displaystyle \varphi (n)}$。

この予想は、この繰り返し値の現象がすべての${\displaystyle n}$。

カーマイケル予想には、比較的容易に決定できる非常に高い下限値が存在する。カーマイケル自身は、彼の予想に対する反例（つまり、ある値）が、${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle \varphi (n)}$（他のすべての数のトーシェントとは異なる）は少なくとも 10 ³⁷でなければならず、ビクター・クレーはこの結果を 10 ⁴⁰⁰まで拡張した。$10^{10^{7}}$はシュラフリーとワゴンによって与えられ、下限は${\displaystyle 10^{10^{10}}}$1998年にケビン・フォードによって決定された。 ^{[ 1 ]}

これらの下限の根底にある計算手法は、最小の反例がそのトーシェント値を割り切る素数の平方で割り切れることを示すことを可能にする、Kleeのいくつかの重要な結果に依存している。Kleeの結果は、8とフェルマー素数（形式の素数）が割り切れることを示唆している。${\displaystyle 2^{2^{k}}+1}$）3を除くすべての整数は、最小の反例を割り切らない。したがって、この予想を証明することは、 4  (mod  8) に合同なすべての整数に対してこの予想が成り立つことを証明することと同等である。

フォードはまた、予想に対する反例が存在する場合、整数の正の割合（漸近密度の意味で）も同様に反例であることを証明した。^{[ 1 ]}

この予想は広く信じられているが、カール・ポメランスは整数の十分条件を与えた。${\displaystyle n}$この条件によれば、${\displaystyle n}$すべての素数に対して、は反例である。${\displaystyle p}$そのため${\displaystyle p-1}$分ける${\displaystyle \varphi (n)}$、${\displaystyle p^{2}}$分ける${\displaystyle n}$しかし、ポメランスは、そのような整数の存在は極めてありそうもないと示した。本質的に、最初の整数が${\displaystyle k}$素数${\displaystyle p}$ 1  (mod 1)と合同 ${\displaystyle q}$） （どこ${\displaystyle q}$は素数）はすべて以下より小さい$\displaystyle q^{k+1}}$ならば、そのような整数はすべての素数で割り切れるため、存在し得ない。いずれにせよ、ポメランスの反例が存在しないことを証明することは、カーマイケル予想を証明することとは程遠い。しかし、もしそれが存在するならば、フォードが主張するように、無限に多くの反例が存在することになる。

カーマイケルの推測を別の言い方で表現すると、もし ${\displaystyle A(f)}$正の整数の数を表す${\displaystyle n}$そのために${\displaystyle \varphi (n)=f}$、 それから${\displaystyle A(f)}$は決して 1 に等しくなることはない 。関連して、ヴァツワフ・シェルピンスキは、1 以外のすべての正の整数が の値として現れると推測した。${\displaystyle A(f)}$これは1999年にケビン・フォードによって証明された推測である。^{[ 2 ]}

• カーマイケル、RD（1907）、「オイラーの${\displaystyle \varphi }$-関数」、米国数学会報、13（5）：241–243、doi：10.1090/S0002-9904-1907-01453-2、MR 1558451 。
• カーマイケル、RD（1922）、「オイラーの注釈」${\displaystyle \varphi }$-関数」、米国数学会報、28（3）：109–110、doi：10.1090/S0002-9904-1922-03504-5、MR 1560520 。
• フォード、K. (1999)、「${\displaystyle \varphi (x)=m}$「, Annals of Mathematics , 150 (1): 283– 311, doi : 10.2307/121103 , JSTOR 121103 , MR 1715326 , Zbl 0978.11053   。
• ガイ、リチャード K. (2004)、数論における未解決問題(第 3 版)、シュプリンガー・フェルラーク、B39、ISBN 978-0-387-20860-2、Zbl 1058.11001 。
• Klee, VL Jr. (1947)、「カーマイケルの予想について」、アメリカ数学会報、53 (12): 1183–1186、doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08940-0、MR 0022855、Zbl 0035.02601  。
• ポメランス、カール（1974）「カーマイケル予想について」（PDF）、アメリカ数学会紀要、43（2）：297–298、doi：10.2307/2038881、JSTOR 2038881、Zbl 0254.10009  。
• サンダー、ジョセフ。 Crstici、Borislav (2004)、Handbook of Number Theory II、Dordrecht: Kluwer Academic、pp. 228–229、ISBN  978-1-4020-2546-4、Zbl 1079.11001 。
• Schlafly, A.; Wagon, S. (1994)、「オイラー関数に関するカーマイケル予想は10,10,000,000以下で有効である^」、Mathematics of Computation、63 (207): 415–419、doi : 10.2307/2153585、JSTOR 2153585、MR 1226815、Zbl 0801.11001   。

• ワイススタイン、エリック・W.、「カーマイケルのトーシェント関数予想」、MathWorld