カーン・ヒリアード方程式

カーン・ヒリアード方程式（ジョン・W・カーンとジョン・E・ヒリアードにちなむ）^[1]は、二成分流体の2つの成分が自発的に分離し、それぞれの成分が純粋なドメインを形成する相分離、スピノーダル分解のプロセスを記述する数理物理学の方程式である。 が流体の濃度で、がドメインを示す場合、方程式は次のように表される。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle c=\pm 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\left(c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right),}$

ここで、は単位の拡散係数であり、 はドメイン間の遷移領域の長さを与えます。 ここでは部分時間微分であり、 は次元のラプラシアンです。 さらに、 の量は化学ポテンシャルとして識別されます。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle {\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}}$${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$${\displaystyle \partial /{\partial t}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c}$

これに関連するものとして、アレン・カーン方程式、確率的アレン・カーン方程式、確率的カーン・ヒリアード方程式があります。

数学者にとって興味深いのは、滑らかな初期データによって与えられるカーン・ヒリアード方程式の唯一の解の存在である。その証明は、基本的にリアプノフ関数の存在に依存している。具体的には、

${\displaystyle F[c]=\int d^{n}x\left[{\frac {1}{4}}\left(c^{2}-1\right)^{2}+{\frac {\gamma }{2}}\left|\nabla c\right|^{2}\right],}$

自由エネルギー関数として、

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=-\int d^{n}x\left|\nabla \mu \right|^{2},}$

そのため、自由エネルギーは時間の経過とともに増加しません。これは、ドメインへの分離がこの方程式の発展の 漸近的な結果であることも示しています。

実際の実験では、最初に混合された二成分流体がドメインに分離することが観察されます。分離は、次の事実によって特徴付けられます。

• 分離されたドメイン間には遷移層があり、そのプロファイルは関数によって与えられ、したがって典型的な幅となります。これは、この関数がカーン・ヒリアード方程式の平衡解であるためです。${\displaystyle c(x)=\tanh \left({\frac {x}{\sqrt {2\gamma }}}\right),}$${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$
• また、分離したドメインが時間の経過とともにべき乗則に従って大きくなるという事実も興味深い。つまり、が典型的なドメイン サイズである場合、 となる。これは Lifshitz-Slyozov の法則であり、Cahn-Hilliard 方程式に対して厳密に証明されており、数値シミュレーションや二成分流体の実際の実験で観察されている。${\displaystyle L(t)}$${\displaystyle L(t)\propto t^{1/3}}$
• カーン・ヒリアード方程式は保存則の形を持ち、です。したがって、相分離プロセスでは総濃度 が保存されるため、 となります。${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} (x),}$${\displaystyle \mathbf {j} (x)=-D\nabla \mu }$${\displaystyle C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)}$${\displaystyle {\frac {dC}{dt}}=0}$

• 

  1 つの相が著しく多い場合、カーン・ヒリアード方程式はオストワルド熟成と呼ばれる現象を示すことがあります。これは、少数相が球状の液滴を形成し、小さな液滴が拡散によって大きな液滴に吸収される現象です。

カーン・ヒリアード方程式は、複雑な流体やソフトマター（界面流体の流れ、高分子科学、産業応用）など、さまざまな分野で応用されています。二成分混合物に対するカーン・ヒリアード方程式の解は、ステファン問題の解やトーマスとウィンドルのモデルとよく一致することが実証されています。^[2]現在、研究者の関心は、カーン・ヒリアード方程式の相分離と流体の流れのナビエ・ストークス方程式の結合にあります。

• アレン・カーン方程式
• 倉本-シヴァシンスキー方程式

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