ブッフォンの麺

幾何確率論において、ビュフォンの麺の問題は、18世紀に生きたジョルジュ＝ルイ・ルクレール、ビュフォン伯爵にちなんで名付けられた、よく知られたビュフォンの針の問題のバリエーションです。この問題に対するこのアプローチは、 1860年にジョゼフ＝エミール・バルビエによって出版されました。^[1]

等間隔に並んだ平行な水平線が無限に存在すると仮定し、隣接する線の間の距離以下の長さの針をランダムに投げるとします。針が着地したときに線を横切る確率はどれくらいでしょうか。

この問題を解くには、針の長さを 、隣接する 2 本の線の間の距離を とします。次に、針が水平線と作る鋭角を 、針の中心から最も近い線までの距離を とします。 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle x}$

針が最も近い直線と交差するのは、 の場合のみです。この条件は、針が最も近い直線と交差しているときに、針、最も近い直線、長さの直線によって形成される直角三角形からわかります。 ${\displaystyle x\leq {\frac {\ell \sin \theta }{2}}}$${\displaystyle x}$

ここで、 の値は、 、であるため、 となるときにランダムに決定されると仮定します。したがって、の標本空間は、辺の長さがおよびの長方形です。 ${\displaystyle x,\theta }$${\displaystyle 0<x<{\frac {D}{2}}}$${\displaystyle 0<\ell <D}$${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle x,\theta }$${\displaystyle {\frac {D}{2}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

針が最も近い線と交差する確率は、標本空間が と交差する割合です。 なので、この交点の面積は次のように表されます。 ${\displaystyle x\leq {\frac {\ell}{2}}\sin \theta }$${\displaystyle 0<\ell <D}$

${\displaystyle {\text{エリア (イベント)}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ell }{2}}\sin \theta \,d\theta =-{ \frac {\ell }{2}}\cos {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\ell }{2}}\cos 0={\frac {\ell }{2}} 。}$

さて、標本空間の面積は

${\displaystyle {\text{面積（標本空間）}}={\frac {D}{2}}\times {\frac {\pi }{2}}={\frac {D\pi }{4}}.}$

したがって、この事象の 確率は${\displaystyle P}$

${\displaystyle P={\frac {\text{面積（事象）}}{\text{面積（標本空間）}}}={\frac {\ell }{2}}\cdot {\frac {4}{D\pi }}={\frac {2\ell }{\pi D}}.}$^[2]

針がどのような形で曲げられても（平面上にあるという制約の下で）式は同じままであり、針は「ヌードル」、つまり剛体平面曲線になります。ヌードルの長さは平行線間の距離以下であるという仮定は捨てます。

交差回数の確率分布は麺の形状に依存しますが、交差回数の期待値は依存しません。予想交差回数は麺の長さLと平行線間の距離Dのみに依存します(曲がった麺は 1 本の線を複数回交差する場合があることに注意してください)。

この事実は次のように証明できる（Klain と Rota を参照）。まず、麺が区分的に線形、つまりn本の直線で構成されていると仮定する。X _{i を}i番目の麺が平行線の 1 つと交差する回数とする。これらのランダム変数は独立ではないが、期待値の線形性により期待値は依然として加算的である。

${\displaystyle E(X_{1}+\cdots +X_{n})=E(X_{1})+\cdots +E(X_{n}).}$

曲がった麺を、区分的に直線状の麺の列の極限と見なすと、1 回の投げごとに交差する回数の予想値は長さに比例し、長さL の定数倍になるという結論に達します。問題は定数を見つけることです。麺が平行線間の距離Dに等しい直径の円である場合、 L = π Dとなり、交差回数は確率 1 でちょうど 2 回になります。したがって、L = π Dの場合、交差回数の予想値は 2 です。したがって、交差回数の予想値は 2 L /( π D )でなければなりません。

この議論を少し拡張すると、が の凸コンパクト部分集合である場合、 と交差する線の期待値はの周囲と交差する線の期待値の半分、つまりに等しくなります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\frac {|\partial C|}{\pi D}}}$

特に、ヌードルが一定幅D の任意の閉曲線である場合、交差数もちょうど 2 になります。これは、周囲の長さが円と同じであることを意味し、バルビエの定理を証明します。 ${\displaystyle \pi D}$

• Ramaley, JF (1969). 「Buffon's Noodle Problem」（PDF） . The American Mathematical Monthly . 76（1969年10月8日）. Mathematical Association of America：916–918。doi ：10.2307/2317945。ISSN 0002-9890。JSTOR 2317945。 2020年1月14日時点の オリジナル（PDF）からアーカイブ 。 2020年2月5日閲覧。
• ダニエル・A・クレイン、ジャン・カルロ・ロータ（1997年）。『幾何学的確率入門』ケンブリッジ大学出版局。p.1。ISBN 978-0-521-59654-1。

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