ブロカードポイント

幾何学において、ブロカール点とは三角形内の特別な点のことである。その名は、フランスの数学者アンリ・ブロカール（1845年- 1922年）にちなんで名付けられた。

辺の長さがa、b、cで​​ある三角形△ ABCにおいて、頂点が反時計回りにA、B、Cとラベル付けされている場合、線分AP、BP、CP がそれぞれの辺c、a、bと等しい角度ωをなすような点Pがちょうど1 つ存在する。

$${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\omega .\,}$$

点Pは三角形△ ABCの最初のブロカール点と呼ばれ、角度ωは三角形のブロカール角と呼ばれます。この角度には次の性質があります。

$${\displaystyle \cot \omega =\cot \!{\bigl (}\angle CAB{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle ABC{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle BCA{\bigr )}.}$$

三角形△ ABCには、線分AQ、BQ、CQがそれぞれ辺b、c、aと等しい角度をなすような、2 番目のブロカール点Qも存在する。言い換えれば、方程式は 次のようになる。$${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$$ 適用します。驚くべきことに、この2番目のブロカール点は、最初のブロカール点と同じブロカール角を持っています。言い換えれば、角度 $${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$$ は、 $${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.}$$

2つのブロカール点は密接に関連しています。実際、最初の点と2番目の点の違いは、三角形△ ABCの角度を取る順序によって決まります。例えば、△ ABCの最初のブロカール点は、 △ ACBの2番目のブロカール点と同じです。

三角形△ ABCの2つのブロカール点は、互いに等角共役点である。

ブロカール点の最も洗練された構成方法は以下のとおりです。以下の例では最初のブロカール点を示していますが、2番目のブロカール点の構成も非常によく似ています。

上の図のように、三角形の辺BCに接する点AとBを通る円を描きます (この円の中心は、 ABの垂直二等分線と、点Bを通りBCに垂直な直線との交点です)。同様に、辺ACに接する点BとCを通る円と、辺ABに接する点AとCを通る円を描きます。これら 3 つの円は共通の点、つまり△ ABCの最初のブロカール点を持ちます。円の接線も参照してください。

先ほど作成した3つの円は、△ ABCの周転円としても指定される。2番目のブロカール点も同様の方法で作成する。

第1および第2ブロカール点の 同次三線座標は次のとおりです。$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&{\frac {c}{b}}&:&{\frac {a}{c}}&:&{\frac {b}{a}}\\Q=&{\frac {b}{c}}&:&{\frac {c}{a}}&:&{\frac {a}{b}}\end{array}}}$$ したがって、それらの重心座標は次のようになります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&c^{2}a^{2}&:&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}\\Q=&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}&:&c^{2}a^{2}\end{array}}}$$

ブロカール点は、2 点のペアの例ですが、どちらのブロカール点も相似変換に対して不変ではないため、三角形の中心ではありません。相似の特殊なケースである不等辺三角形を反射すると、一方のブロカール点がもう一方のブロカール点になります。ただし、両方の点によって形成される順序のないペアは、相似に対して不変です。2 つのブロカール点の中点、ブロカール中点と呼ばれる点は、三線形座標を持ちます^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}$$そして三角形の中心であり、三角形中心百科事典 では中心 X(39) です。3番目のブロカール点は、三線座標で^{[ 3 ]と表されます。}

$${\displaystyle \csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3},}$$

これは、反補三角形のブロカール中点です。三角形中心百科事典では中心X(76)に相当します。さらに：

• 3番目のブロカール点は、シンメディアン点の等角共役点である。
• 3番目のブロカール点は、ブロカール三角形と△ ABCのパースペクターです。
• 3番目のブロカール点は、シュタイナー点とタリー点を結ぶ外接円の直径上に位置する。

最初の2つのブロカール点PとQの間の距離は、常に三角形の外接円の半径Rの半分以下です。 ^{[ 1 ] [ 4 ]}

$$\displaystyle {\overline {PQ}}=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.}$$

最初の 2 つのブロカール点間の線分は、三角形の外心と対称中点を結ぶ線によってブロカール点の中点で垂直に二等分されます。さらに、外心、ルモワン点、および最初の 2 つのブロカール点は同円です。つまり、それらはすべてブロカール円上にあり、外心とルモワン点を結ぶ線分はその直径です。^{[ 1 ]}最初の 2 つのブロカール点におけるブロカール円への接線は、3 番目のブロカール点の等角共役点で一致します。^{[ 2 ] [ 3 ]}

ブロカール点PとQは三角形の外心Oから等距離にある: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\overline {PO}}={\overline {QO}}=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}.}$$

第１および第２ブロカール点のペダル三角形は互いに合同であり、元の三角形と相似である。 ^{[ 4 ]}

三角形の頂点の 1 つと最初のブロカール点を通る直線AP、BP、CPが、三角形の外接円と点L、M、Nで交わる場合、三角形△ LMNは元の三角形△ ABCと合同である。最初のブロカール点P を2 番目のブロカール点Qに置き換えた場合も同様である。^{[ 4 ]}

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• 二中心点のペアと関連する三角形の中心
• 二中心点のペア
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