アーラン（単位）

アーラン（記号E ^{[ 1 ]}）は、電話回線や電話交換装置などのサービス提供要素における提供負荷または伝送負荷の尺度として電話で使用される無次元単位です。単一のコード回線は、1時間で 60 分間使用できる容量があります。その容量を完全に利用した場合、つまり 60 分間のトラフィックが 1 アーランに相当します。^{[ 2 ]}

アーランで表される処理トラフィックは、一定期間（多くの場合1時間）に測定された同時呼び出しの平均数であり、一方、オファートラフィックは、すべての呼び出し試行が成功した場合に処理されるトラフィックです。実際にどれだけのオファートラフィックが処理されるかは、すべてのサーバーがビジー状態のときに応答されなかった呼び出しがどうなるかによって決まります。

CCITTは1946年にアグナー・クラルプ・エルランに敬意を表して、電話トラフィックの国際単位をエルランと命名した。^{[ 3 ] [ 4 ]}エルランは電話回線の効率的な使用に関する分析で、重要な2つのケース、エルランBとエルランCの公式を導き出し、これらはテレトラフィック工学と待ち行列理論の基礎的な結果となった。今日でも使用されている彼の結果は、サービス品質と利用可能なサーバの数を関連付けている。どちらの公式も、主な入力の1つとして提供負荷（エルラン単位）を取り、これは通常、着信率と平均通話時間の積として表される。

アーランB式の重要な前提は、キューが存在しないことです。つまり、すべてのサービス要素が既に使用されている場合、新しく到着した呼び出しはブロックされ、結果として失われます。この式は、このような事態が発生する確率を示します。一方、アーランC式は、無制限のキューの可能性を考慮しており、すべてのサーバーが使用中のため、新しい呼び出しがキューで待機する必要がある確率を示します。アーランの式は非常に幅広い範囲に適用できますが、輻輳が特に高く、失敗したトラフィックが繰り返し再試行される場合、うまく機能しない可能性があります。キューが利用できない場合の再試行を考慮する方法の1つは、拡張アーランB方式です。

伝送トラフィックを表す場合、値（43.5 のような非整数でも可）に「erlangs」を付けたものは、回線（またはその他のサービス提供要素）によって伝送される同時通話の平均数を表します。この平均は、妥当な期間にわたって計算されます。平均を計算する期間は、多くの場合 1 時間ですが、需要の急増が短時間で発生することがわかっており、これらの急増を隠蔽しないトラフィック測定が必要な場合は、より短い期間（たとえば 15 分）を使用することもできます。1 erlang の伝送トラフィックは、単一のリソースが継続的に使用されているか、2 つのチャネルがそれぞれ 50% の時間使用されているかなどを指します。たとえば、オフィスに 2 人の電話交換手がいて、両方とも常にビジー状態である場合、これは 2 erlang (2 E) のトラフィックを表します。また、関心のある期間 (たとえば 1 時間) に継続的に使用されている無線チャネルの負荷は 1 erlang であると言えます。

提供トラフィックを説明する際に「erlangs」の後に続く値は、回線数が無制限であった場合（つまり、すべての回線が使用中のときに行われた通話試行が拒否されなかった場合）に処理されたであろう同時通話の平均数を表します。提供トラフィックと処理トラフィックの関係は、システムの設計とユーザーの行動によって異なります。一般的なモデルは、(a) 通話試行が拒否された発信者が離れて二度と戻ってこない、(b) 通話試行が拒否された発信者が比較的短い時間内に再度試行する、(c) システムがユーザーが回線が利用可能になるまでキューで待機することを許可する、の 3 つです。

トラフィックの3つ目の測定方法は、瞬間トラフィックです。これは、ある時点における通話の正確な数を表すアーラン値で表されます。この場合、数値は非負の整数となります。移動式ペンレコーダーなどのトラフィックレベル記録装置は、瞬間トラフィックをグラフ化します。

アグナー・クラルップ・アーランが提唱した概念と数学は、電話分野にとどまらず幅広い応用性を持つ。例えば、チケット販売窓口、飛行機のトイレ、モーテルの客室など、サービス提供要素群のいずれかから、事前の予約なしにほぼランダムにサービスを受けるユーザーであれば、どのような場面でも適用できる。（ただし、サービス提供要素が複数の同時ユーザー間で共有されている場合や、異なるユーザーが異なる量のサービスを消費する場合（例えば、データ通信回線など）には、アーランのモデルは適用できない。）

アーランのトラフィック理論の目標は、無駄な過剰供給をすることなく、ユーザーのニーズを満たすためにどれだけのサービス提供要素を提供すべきかを正確に決定することです。そのためには、サービス品質（GoS）またはサービス品質（QoS）の目標値が設定されます。例えば、キュ​​ーイングのないシステムでは、すべての回線が使用中であるため、100 回の通話のうち 1 回以下しかブロックされない（つまり拒否されない）ことが GoS 0.01 となり、これがアーラン B 式を使用する際の通話ブロックの目標確率P _bとなります。

ユーザーの行動やシステム運用に関する様々なモデルに基づき、 Erlang B、Erlang C、および関連するEngset式など、いくつかの公式が導き出されます。これらはそれぞれ、出生死滅過程として知られる連続時間マルコフ過程の特殊なケースを用いて導出できます。より新しい拡張Erlang B法は、Erlangの結果を活用した、さらなるトラフィック解析手法を提供します。

提供されるトラフィック量（アーラン単位）は、着信率λと平均通話保持時間（電話の平均時間）hと以下の関係にある。

${\displaystyle E=\lambda h}$

ただし、hとλは同じ時間単位（秒と1秒あたりの呼び出し回数、または分と1分あたりの呼び出し回数）で表すものとする。

トラフィックの実測は通常、数日から数週間にわたる連続観測に基づいて行われ、その間、瞬間的なトラフィックが一定の短い間隔（数秒ごとなど）で記録されます。これらの測定値は、最も一般的にはピーク時トラフィック（アーラン単位）という単一の結果を算出するために使用されます。これは、1日のうち特定の1時間における同時通話数の平均値であり、その時間帯は最も高い値が得られるように選択されます（この結果は、時間的に一貫したピーク時トラフィックと呼ばれます）。別の方法として、各日ごとにピーク時トラフィック値を個別に計算し（これは毎日わずかに異なる時間帯に対応する可能性があります）、これらの値の平均値を取る方法もあります。この方法は一般的に、時間的に一貫したピーク時トラフィック値よりもわずかに高い値になります。

既に過負荷状態にあり、ブロックが相当数発生しているシステムで、既存のピーク時搬送トラフィックE _{cを測定する場合、ピーク時提供トラフィック}E _o (アーラン式で使用するトラフィック値) を推定する際には、ブロックされた通話を考慮に入れる必要があります。提供トラフィックは、E _o = E _c /(1 − P _b )で推定できます。この目的のために、システムにブロックされた通話と成功した通話をカウントする手段が含まれている場合、P _{b は}ブロックされた通話の割合から直接推定できます。それができない場合は、アーラン式のE _oの代わりにE _{cを使用して}P _bを推定し、得られたP _bの推定値をE _o = E _c /(1 − P _b )で使用して、 E _oの最初の推定値を得ることができます。

過負荷システムにおけるE _oを推定するもう 1 つの方法は、ビジー アワー時の通話到着率λ (成功した通話とブロックされた通話をカウント) と平均通話保持時間 (成功した通話の場合) h を測定し、式E = λhを使用してE _oを推定することです。

処理すべきトラフィックが全く新しいトラフィックである場合、唯一の選択肢は、想定されるユーザー行動をモデル化することです。例えば、アクティブユーザー数N、想定される利用レベルU (1 ユーザーあたりの1日あたりの通話/トランザクション数)、ピーク時集中係数C (1日のアクティビティのうちピーク時に発生する割合)、平均保持時間/サービス時間h (分単位) を推定することができます。ピーク時の提供トラフィックの予測値は、 E _o = ⁠ NUC / 60 ⁠ h  erlangsとなります。(60 で割ることで、ピーク時の通話/トランザクション到着率を分単位の値に変換し、hの単位と一致させます。)

アーランB 式(またはハイフン付きのErlang-B ) は、アーラン損失式とも呼ばれ、同一の並列リソース (電話回線、回線、トラフィック チャネル、または同等のもの) のグループ ( M/M/c/c キューと呼ばれることもあります) の通話損失の確率を表すブロッキング確率の式です。^{[ 5 ]} 例えば、電話ネットワークのリンクの寸法を決定するために使用されます。この式はAgner Krarup Erlangによって導出され、キューイング システム (多数のサーバがあるが着信通話が空きサーバを待つためのキューイング スペースがない特殊なケース) の確率を表すため、電話ネットワークに限定されません。したがって、この式は、販売損失のある特定の在庫システムでも使用されます。

この式は、回線が使用中であるために通話が失敗した場合、キューに入れられたり再試行されたりせず、完全に消滅するという条件の下で適用されます。通話試行はポアソン過程に従って到着すると仮定されているため、通話到着時刻は独立しています。さらに、メッセージ長（保持時間）は指数分布（マルコフ過程）に従うと仮定されていますが、この式は一般的な保持時間分布にも適用できることがわかっています。

アーランB式は、N個のサーバ（電話回線など）にトラフィックを提供するソース（電話加入者など）が無限に存在することを前提としています。新しい呼び出しが到着する頻度を表すレートλ（発生率、トラフィック強度など）は一定であり、アクティブなソースの数には依存しません。ソースの総数は無限であると想定されています。アーランB式は、バッファレス損失システムのブロッキング確率を計算します。このシステムでは、すぐに処理されない要求は中止され、要求がキューに蓄積されることはありません。ブロッキングは、利用可能なサーバがすべてビジー状態のときに新しい要求が到着した場合に発生します。また、この式は、ブロックされたトラフィックはクリアされ、戻ってこないことを前提としています。

この式は、リソース グループに到着した新しい呼び出しがすべてのリソース (サーバー、回線、回路) が使用中であるため拒否される確率 P b である GoS (サービス グレード) を提供します。B ( E , m )ここ_で、Eは、m個の同一の並列リソース (サーバー、通信チャネル、トラフィック レーン)に提供される、アーラン単位の総提供トラフィックです。

${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

どこ：

• P _bはブロックする確率です
• mは、サーバー、電話回線などの同一の並列リソースの数です。
• E = λhは正規化された入力負荷（アーラン単位で表された提供トラフィック）です。

アーランは、平均到着率λに平均通話保持時間hを乗じて算出される無次元の負荷単位である。リトルの法則が次元的に妥当であるためには、この単位は無次元でなければならない。

これは、アーランB式の表の計算を簡略化するために使用される形式で、以下のように再帰的に表現できます^{[ 6 ] 。}

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

通常、数値計算では、数値の安定性を確保するために、B ( E , m )の代わりに逆数1/ B ( E , m )が計算されます。

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

再帰形式は、非再帰形式を繰り返し代入することによって導出できる。^{[ 7 ]}

Function ErlangB ( E As Double , m As Integer ) As Double Dim InvB As Double Dim j As IntegerInvB = 1.0 j = 1からmまでInvB = 1.0 + InvB * j / E次のj ErlangB = 1.0 / InvB関数終了

またはPython版：

def erlang_b ( E : float , m : int ) -> float : """通話損失の確率を計算します。""" inv_b = 1.0 for j in range ( 1 , m + 1 ): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b

アーラン B 式はmに関して減少かつ凸です。^{[ 8 ]}呼び出しの到着がポアソン過程 によってモデル化できることが必要ですが、これは常に良い一致とは限りませんが、有限の平均を持つ任意の通話保持時間の統計的分布に対して有効です。トラフィックをバッファリングしないトラフィック伝送システムに適用されます。POTS と比較して、アーラン B が依然として適用可能なより現代的な例としては、光バーストスイッチング (OBS) と光パケットスイッチング (OPS) のいくつかの現在のアプローチがあります。アーランBは、保持時間が数分の範囲の電話ネットワークのトランクサイジングツールとして開発されましたが、数学方程式であるため、任意の時間スケールに適用できます。

拡張アーランBは、ブロックされた発信者の一部が再試行することを許容することで、初期のベースラインレベルから提供されるトラフィックが増加するという点で、従来のアーランBの仮定とは異なります。これは数式ではなく反復計算であり、リコール係数という追加のパラメータが加わります。${\displaystyle R_{\text{f}}}$これは、リコール試行を定義します。^{[ 9 ]}

プロセスの手順は以下のとおりです。^{[ 10 ]}反復処理から始まります。${\displaystyle k=0}$既知の初期ベースライン交通量レベル${\displaystyle E_{0}}$これは、新しい提供トラフィック値のシーケンスを計算するために順次調整されます。${\displaystyle E_{k+1}}$それぞれが、以前に計算された提供トラフィックから生じるリコールを考慮に入れている。${\displaystyle E_{k}}$。

1. 発信者が最初の試行でブロックされる確率を計算します。$${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E_{k},m)}$$アーランBの場合と同様。
2. ブロックされた通話の推定数を計算する$${\displaystyle B_{\text{e}}=E_{k}P_{\text{b}}}$$
3. リコール数を計算します。${\displaystyle R}$固定された想起率を仮定すると、${\displaystyle R_{\text{f}}}$、$${\displaystyle R=B_{\text{e}}R_{\text{f}}}$$
4. 新たに提供されるトラフィックを計算する$${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R}$$どこ${\displaystyle E_{0}}$これは初期（基準）レベルのトラフィックです。
5. ステップ1に戻り、${\displaystyle E_{k+1}}$のために${\displaystyle E_{k}}$、そして、安定した値になるまで繰り返します。${\displaystyle E}$取得される。

満足のいく値になると${\displaystyle E}$ブロック確率が判明しました${\displaystyle P_{\text{b}}}$また、リコール率を用いることで、発信者のすべての試みが失敗する確率を計算できます。これは、最初の通話だけでなく、その後の再試行も含みます。

アーランC式は、到着した顧客が（すぐにサービスを受けるのではなく）列に並ぶ必要がある確率を表します。^{[ 11 ]}アーランB式と同様に、アーランC式は、共同でトラフィックを提供する無限の数のソースを想定しています。${\displaystyle E}$エルランから${\displaystyle m}$サーバー。ただし、送信元からリクエストが到着したときにすべてのサーバーがビジー状態の場合、リクエストはキューに入れられます。このようにして、無制限の数のリクエストを同時にキューに保持できます。この式は、ブロックされた通話が処理可能になるまでシステムに残ることを前提として、提供されたトラフィックがキューに入れられる確率を計算します。この式は、指定されたキューイング確率に対して、コールセンターに配置するために必要なエージェントまたはカスタマーサービス担当者の数を決定するために使用されます。ただし、アーランC式は、発信者がキューにいる間は絶対に電話を切らないことを前提としているため、この式は、希望するサービスレベルを維持するために実際に必要なエージェントよりも多くのエージェントを使用する必要があると予測します。

${\displaystyle P_{\text{w}}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{mE}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{mE}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle E}$は、提供される総トラフィックをアーラン単位で表したものです。
• ${\displaystyle m}$サーバーの数
• ${\displaystyle P_{\text{w}}}$これは、顧客がサービスを受けるまでに待たなければならない確率です。

着信はポアソン過程によってモデル化でき、通話保持時間は指数分布によって記述されると仮定すると、アーランCの式はM/M/c待ち行列モデルの仮定から導かれる。

アーランがアーランBおよびアーランC交通方程式を開発した際、それらは一連の仮定に基づいて開発されました。これらの仮定はほとんどの条件下で正確ですが、極めて高い交通渋滞が発生した場合、再入交通のためにアーランの方程式は必要な回路数を正確に予測できません。これは高損失システムと呼ばれ、ピーク時に渋滞がさらなる渋滞を引き起こします。このような場合、まず高損失を緩和するために多くの追加回路を用意する必要があります。この措置が講じられると、渋滞は適切なレベルに戻り、アーランの方程式を使用して実際に必要な回路数を正確に決定できるようになります。^{[ 12 ]}

このような高損失システムが発生する例としては、テレビCMで特定の時間に特定の電話番号に電話するようアナウンスする場合が挙げられます。この場合、多数の人が同時にその番号に電話をかけます。サービスプロバイダーがこの急激なピーク需要に対応していなかった場合、極度のトラフィック混雑が発生し、アーランの式は使用できなくなります。^{[ 12 ]}

• コールセンター– 電話による大量の問い合わせに対応するオフィス 
• 離散イベントシミュレーション– シミュレーションの種類 
• Engsetの公式
• アーラン分布– 連続確率分布の族 
• Erlangプログラミング言語–リダイレクト先の簡単な説明を表示するプログラミング言語ページ 
• ポアソン分布– 離散確率分布 
• スペクトル効率– 特定の帯域幅で伝送できる情報量 
• 通信トラフィック構成モデル 

• 「自動電話交換機における有意確率理論におけるいくつかの問題の解決」 ( PDF)。Elektrotkeknikeren 。13 : 5. 1917。 2011年7月19日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。