バーグマンのダイヤモンド補題

数学、特に抽象代数の分野において、バーグマンのダイヤモンド補題（ジョージ・バーグマンにちなむ）は、代数の単項式の与えられた集合が -基底を形成するかどうかを確認する方法である。これは、グレブナー基底を非可換環に拡張したものである。補題の証明により、代数の非可換グレブナー基底をその定義関係から得るアルゴリズムが生まれる。しかし、ブッフバーガーのアルゴリズムとは対照的に、非可換の場合、このアルゴリズムは終了しない可能性がある。^[1]${\displaystyle k}$

を単位元1を持つ可換結合環(通常は体 )とします。任意の変数集合を取ります。有限の場合、通常は が成り立ちます。すると は上の単位元 1 を持つ自由半群です。最後に は上の自由結合-代数です。^{[2] [3]}の元は文字とみなせる ため、の元は単語と呼ばれます。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \langle X\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle k\langle X\rangle }$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle X\rangle }$${\displaystyle X}$

以下の簡約では、単語、つまり の単項式の順序 の選択が必要です。これは全順序であり、次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle <}$${\displaystyle \langle X\rangle }$

1. すべての単語およびについて、ならばとなる。^[2]${\displaystyle u,u',v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w<v}$${\displaystyle uwu'<uvu'}$
2. 各単語の集合は有限である。^[1]${\displaystyle w}$${\displaystyle \{v\in \langle X\rangle :v<w\}}$

このような順序を許容順序と呼ぶ。^[4]重要な例は次数辞書式順序で、の次数が より小さい場合、または次数が同じ場合は、 がよりも辞書式順序で前に来ると述べる。たとえば、 の単項式上の次数辞書式順序は、まず を仮定することで与えられる。すると、上記の規則は、単項式が次のように順序付けられることを意味する。 ${\displaystyle w<v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w<v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle k\langle x,y\rangle }$${\displaystyle x<y}$

${\displaystyle 1<x<y<x^{2}、xy<yx<y^{2}、x^{3}、x^{2}、y<\dots }$

各要素には、 の順序付けにおける最大の単語であるリーディングワードがあり、これは に非ゼロの係数で出現します。 ^[1]の場合、次数辞書式順序付けにおけるのリーディングワードは です。 ${\displaystyle h\in k\langle X\rangle }$${\displaystyle <}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k\langle x,y\rangle }$${\displaystyle h=x^{2}+2x^{2}yy^{2}x}$${\displaystyle h}$${\displaystyle y^{2}x}$

の2面イデアルを生成する集合があると仮定します。次に、各 を、その先頭の単語の係数が1になるようにスケーリングできます。したがって、と書くことができます。ここで、 はとなる単語の線形結合です。 ^[1]単語は、先頭の単語 のいずれも含まないとき、関係に関して簡約されているといいます。それ以外の場合、あるおよびあるに対して となります。すると、簡約があり、これはを除くのすべての要素を固定し、これを に送るの自己準同型です。^[2]順序付けの選択により、任意の特定の単語よりも小さい単語は有限個しかありません。したがって、簡約の有限合成により、任意の が簡約された単語の線形結合に 送られます。${\displaystyle \{g_{\sigma }\}_{\sigma \in S}\subseteq k\langle X\rangle }$${\displaystyle I}$${\displaystyle k\langle X\rangle }$${\displaystyle g_{\sigma}}$${\displaystyle w_{\sigma}}$${\displaystyle g_{\sigma}=w_{\sigma}-f_{\sigma}}$${\displaystyle f_{\sigma}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v<w_{\sigma }}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \{g_{\sigma }\}_{\sigma \in S}}$${\displaystyle w_{\sigma}}$${\displaystyle w=uw_{\sigma }v}$${\displaystyle u,v\in \langle X\rangle }$${\displaystyle \sigma \in S}$ ${\displaystyle r_{u\sigma v}:k\langle X\rangle \to k\langle X\rangle }$${\displaystyle k\langle X\rangle }$${\displaystyle \langle X\rangle }$${\displaystyle w=uw_{\sigma }v}$${\displaystyle uf_{\sigma }v}$${\displaystyle h\in k\langle X\rangle }$

任意の元は、その簡約形を法として同値類を共有する。したがって、 の簡約語の標準像は-全域集合を形成する。^[1]非可換グレブナー基底の考え方は、の対応する簡約語の像が-基底となるようなイデアルの生成元の集合を見つけることである。バーグマンのダイヤモンド補題により、生成元の集合がこの性質を持つかどうか検証できる。さらに、この性質を持たない場合、バーグマンのダイヤモンド補題の証明により、生成元の集合をこの性質を持つ集合に拡張するアルゴリズムが得られる。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle k\langle X\rangle /I}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g_{\sigma}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle k\langle X\rangle /I}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g_{\sigma}}$

元が縮約一意であるとは、縮約と の有限合成が2つ与えられ、像とが縮約語の線形結合である場合に、となる。言い換えれば、2つの異なる方法で縮約を適用して元を縮約語の線形結合に変換すると、同じ結果が得られる。^[5]${\displaystyle h\in k\langle X\rangle }$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s_{1}(h)}$${\displaystyle s_{2}(h)}$${\displaystyle s_{1}(h)=s_{2}(h)}$

簡約を行う際、どの簡約を行うかという明確な選択肢が常にあるとは限りません。これは曖昧性と呼ばれ、2 つの種類が発生する可能性があります。まず、空でない単語を表す単語があり、およびがいくつかの を表す先導語であると仮定します。これは重複曖昧性と呼ばれます。これは、とという 2 つの簡約が可能であるためです。この曖昧性は、とを簡約の合成を使用して共通の式に簡約できる 場合に 解決できます。${\displaystyle w=tvu}$${\displaystyle t,v,u}$${\displaystyle w_{\sigma }=tv}$${\displaystyle w_{\tau}=vu}$${\displaystyle \sigma ,\tau \in S}$${\displaystyle r_{1\sigma u}}$${\displaystyle r_{t\tau 1}}$${\displaystyle tr_{1\sigma u}}$${\displaystyle r_{t\tau 1}u}$

第二に、1つの主要な単語が別の単語に含まれる可能性がある。つまり、いくつかの単語といくつかのインデックスの場合である。この場合、包含の曖昧さが生じる。また、この曖昧さは、簡約とのいくつかの組み合わせの場合、の場合に解決可能である。^[1]${\displaystyle w_{\sigma }=t\omega _{\tau }u}$${\displaystyle t,u}$${\displaystyle \sigma ,\tau \in S}$${\displaystyle s_{1}\circ r_{1\sigma 1}(w)=s_{2}\circ r_{t\tau u}(w)}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$

この補題の記述は単純だが、上で定義した用語を含んでいる。この補題は基になる環が結合的である限り適用可能である。^[6]

が のイデアルを生成するとします。ここで、先頭の単語はの一定の許容順序に従っています。このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle \{g_{\sigma }\}_{\sigma \in S}\subseteq k\langle X\rangle }$${\displaystyle I}$${\displaystyle k\langle X\rangle }$${\displaystyle g_{\sigma}=w_{\sigma}-f_{\sigma}}$${\displaystyle w_{\sigma}}$${\displaystyle \langle X\rangle }$

1. 重複と包含の曖昧さはすべて解決可能です。${\displaystyle g_{\sigma}}$
2. のすべての要素は還元一意です。${\displaystyle k\langle X\rangle }$
3. 簡約された単語のイメージは、a基底を形成します。${\displaystyle k\langle X\rangle /I}$${\displaystyle k}$

ここで、簡約は の生成元の固定された集合に関して行われます。上記のいずれかが成り立つとき、 は のグレブナー基底であると言います。^[1] 生成元の集合が与えられた場合、通常、最初の条件または2番目の条件をチェックして、その集合が -基底であることを確認します。 ${\displaystyle \{g_{\sigma }\}_{\sigma \in S}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{g_{\sigma }\}_{\sigma \in S}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle k}$

3 変数の量子多項式環 をとり、 と仮定します。を次数辞書式順序とすると、定義関係の主導語は、 、、です。 重複の曖昧さは 1 つだけあり、包含の曖昧さはありません。または をまず で解決できます。最初のオプションでは、次の一連の簡約が得られます。 ${\displaystyle A=k\langle x,y,z\rangle /(yx-pxy,zx-qxz,zy-ryz)}$${\displaystyle x<y<z}$${\displaystyle <}$${\displaystyle yx}$${\displaystyle zx}$${\displaystyle zy}$${\displaystyle zyx}$${\displaystyle yx=pxy}$${\displaystyle zy=ryz}$

${\displaystyle zyx=pzxy=pqxzy=pqrxyz,}$

一方、2番目の可能性は、

${\displaystyle zyx=ryzx=rqyxz=rqpxyz.}$

は可換なので、上記は等しい。したがって、曖昧さは解決され、補題はが のグレブナー基底であることを意味する。 ${\displaystyle p,q,r}$${\displaystyle \{yx-pxy,zx-qxz,zy-ryz\}}$${\displaystyle I}$

とする。前の例と同じ順序で、イデアルの生成元となる語は、、およびである。重複する曖昧さが 2 つあり、それは、およびである。 について考えてみよう。まずこれを解決すれば、次のようになる。 ${\displaystyle A=k\langle x,y,z\rangle /(z^{2}-xy-yx,zx-xz,zy-yz)}$${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle zx}$${\displaystyle zy}$${\displaystyle z^{2}x}$${\displaystyle z^{2}y}$${\displaystyle z^{2}x}$${\displaystyle z^{2}}$

${\displaystyle z^{2}x=(xy+yx)x=xyx+yx^{2},}$

これは先導語を含まず、したがって短縮される。まず解決すると、 ${\displaystyle zx}$

${\displaystyle z^{2}x=zxz=xz^{2}=x(xy+yx)=x^{2}y+xyx.}$

上記は両方とも簡約されていますが等しくないため、あいまいさは解決されないことがわかります。したがって、これが生成するイデアルのグレブナー基底ではありません。 ${\displaystyle \{z^{2}-xy-yx,zx-xz,zy-yz\}}$

次の短いアルゴリズムは、バーグマンのダイヤモンド補題の証明から導かれる。これは、以前は解決できなかった曖昧さを解決する新しい関係を追加することに基づいている。が解決しない重複の曖昧さであると仮定する。すると、簡約 とのいくつかの合成に対して、と は簡約された単語の異なる線形結合であることが分かる。したがって、新しい非ゼロ関係 が得られる。この関係の先頭の単語は、既存の関係の先頭の単語とは必然的に異なる。ここで、この関係を、先頭の単語の係数が 1 になるように非ゼロ定数でスケーリングし、 の生成セットに追加します。このプロセスは、包含の曖昧さの場合と同様である。^[1]${\displaystyle w=w_{\sigma }u=tw_{\tau }}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle h_{1}=s_{1}\circ r_{1\sigma u}(w)}$${\displaystyle h_{2}=s_{2}\circ r_{t\tau 1}(w)}$${\displaystyle h_{1}-h_{2}\in I}$${\displaystyle I}$

これで、これまで解決できなかった重なりあいまいさが、新しい関係の構築によって解決されました。しかし、新しいあいまいさが生じる可能性があります。このプロセスは、有限回数の反復後にイデアルのグレブナー基底を生成して終了するか、または終了しない可能性があります。アルゴリズムが終了しない場合に生成される関係の無限セットは依然としてグレブナー基底ですが、新しい関係のパターンが見つからない限り役に立たない可能性があります。^[7]

上の の例を続けましょう。 重複の曖昧さは解決されないことがわかりました。 これにより、 および が得られます。したがって、新しい関係は となり、その先頭の単語は係数 1 です。 したがって、これをスケーリングする必要はなく、関係のセットに追加できます。これは現在 です。 以前の曖昧さは、または のいずれかに解決されます。 新しい関係を追加しても曖昧さは追加されなかったため、上で特定した重複の曖昧さが残ります。 現在持っている関係でこれを解決してみましょう。 再び、最初に解決すると、次のようになります 。${\displaystyle A=k\langle x,y,z\rangle /(z^{2}-xy-yx,zx-xz,zy-yz)}$${\displaystyle z^{2}x}$${\displaystyle h_{1}=xyx+yx^{2}}$${\displaystyle h_{2}=x^{2}y+xyx}$${\displaystyle h_{1}-h_{2}=yx^{2}-x^{2}y\in I}$${\displaystyle yx^{2}}$${\displaystyle \{z^{2}-xy-yx,zx-xz,zy-yz,yx^{2}-x^{2}y\}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle z^{2}y}$${\displaystyle z^{2}}$

${\displaystyle z^{2}y=(xy+yx)y=xy^{2}+yxy.}$

一方、最初に2回解決すると、 ${\displaystyle zy}$${\displaystyle z^{2}}$

${\displaystyle z^{2}y=zyz=yz^{2}=y(xy+yx)=yxy+y^{2}x.}$

したがって、 および となり、新しい関係は、先頭語 と である。先頭語 の係数は -1 なので、関係をスケールし、定義関係の集合に追加する。これですべての曖昧さが解消され、バーグマンのダイヤモンド補題から次のことが分かる。 ${\displaystyle h_{3}=xy^{2}+yxy}$${\displaystyle h_{4}=yxy+y^{2}x}$${\displaystyle h_{3}-h_{4}=xy^{2}-y^{2}x}$${\displaystyle y^{2}x}$${\displaystyle y^{2}x-xy^{2}}$

${\displaystyle \{z^{2}-xy-yx,zx-xz,zy-yz,yx^{2}-x^{2}y,y^{2}x-xy^{2}\}}$それは、それが定義する理想のグレブナー基底です。

ダイヤモンド補題の重要性は、それが他の数学的構造にどれだけ適用されてきたかを見れば分かります。

• 冪級数代数の場合^[6]
• 特定の箙状ヘッケ代数の場合。^[8]
• カテゴリー代数の場合^[4]
• 小規模カテゴリの場合^[9]
• シャッフルオペラドの場合[ 10 ^]

この補題はポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理を証明するために使われてきた。^[2]