単数形の数字体系

単項記数法は、自然数を表す最も単純な記数法です。^{[ 1 ]}数Nを表すには、1 を表す記号をN回繰り返します。^{[ 2 ]}

単項システムでは、0（ゼロ）は空の文字列、つまり記号の不在で表されます。1、2、3、4、5、6、...は、単項では1、11、111、1111、11111、111111、...と表されます^{[ 3 ]。}

単項式は全単射の数体系です。しかし、「基数 1」と表現されることもありますが、^{[ 4 ]}数字の値が数値内の位置によって決まる位置表記とはいくつかの重要な点で異なります。たとえば、数値の単項式は、他の基数での表現よりも指数関数的に長くなることがあります。^{[ 5 ]}

数える際に正の字を使うのは、単数形の数体系の応用です。例えば、正の字| (𝍷) を使うと、数字の 3 は| | |と表されます。東アジアの文化では、数字の 3 は、3 画で書かれた文字「三」で表されます。 ^{[ 6 ]} (1 と 2 も同様に表されます。) 中国と日本では、5 画で書かれた文字「正」が、正の字として 5 を表すのに使われることがあります。^{[ 7 ] [ 8 ]}

単項数は、レピュントとは区別されるべきである。レピュントも1の連続として表記されるが、通常の10進数としての数値解釈を持つ。

加算と減算は、文字列の連結に過ぎないため、単項システムでは特に単純です。^{[ 9 ]}バイナリ値のシーケンス内の非ゼロビットの数を数えるハミング重みまたは個体数カウント操作も、単項からバイナリ数への変換として解釈できます。^{[ 10 ]}しかし、乗算はより面倒で、チューリングマシンの設計のテストケースとしてよく使用されてきました。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

標準的な位取り記数法と比較すると、単項式は不便であるため、大規模な計算には実際には使用されません。理論計算機科学におけるいくつかの決定問題記述（例えば、いくつかのP完全問題）では、問題の実行時間や空間要件を「人為的に」減らすために単項式が用いられます。例えば、整数因数分解の問題は、入力が2進数で与えられた場合、実行時間が入力の長さの多項式関数以上必要になると考えられていますが、入力が単項式で表現された場合は線形実行時間しか必要ありません。^{[ 14 ]}しかし、これは誤解を招く可能性があります。単項入力は、任意の数値に対して高速化するのではなく、低速化します。違いは、2進数（またはより大きな基数）入力は数値の底2（またはより大きな基数）の対数に比例するのに対し、単項入力は数値自体に比例するということです。したがって、単項式における実行時間と空間要件は入力サイズの関数としてより優れているように見えますが、より効率的な解決策を表しているわけではありません。^{[ 15 ]}

計算複雑性理論では、単項番号付けは、NP完全問題とNP完全ではあるがNP完全ではない問題を区別するために使用されます。入力に数値パラメータが含まれる問題は、パラメータを単項で表現することによって入力のサイズを人為的に大きくしてもNP完全のままである場合、NP完全であると言えます。このような問題には、すべてのパラメータ値が最大で多項式サイズになるような困難なインスタンスが存在します。^{[ 16 ]}

タリーマークへの応用に加えて、単項番号付けは、ゴロム符号化などのデータ圧縮アルゴリズムの一部としても使用されます。^{[ 17 ]}また、数学論理における算術を形式化するためのペアノ公理の基礎を形成します。^{[ 18 ]}ラムダ計算では、チャーチ符号化 と呼ばれる単項表記法が数値の表現に使用されます。^{[ 19 ]}

一部のメールスパムフィルタは、X-Spam-BarやX-SPAM-LEVELのように、メールヘッダーにアスタリスクを複数付けてメッセージをタグ付けします。数値が大きいほど、メールがスパムとみなされる可能性が高くなります。小数の代わりに単項表現を使用すると、ユーザーは指定された評価以上のメッセージを検索できます。たとえば、****を検索すると、評価が 4 以上のメッセージが返されます。 ^{[ 20 ]}

• 単項符号化
• ワンホットエンコーディング

• OEISシーケンスA000042 （自然数の単項表現）