ロス・リトルウッドのパラドックス

ロス＝リトルウッドのパラドックス（ボールと花瓶問題、ピンポン玉問題とも呼ばれる）は、無限の逆説的、あるいは少なくとも直観に反する性質を説明するために考案された抽象数学と論理学における仮説的問題である。より具体的には、トムソンのランプのパラドックスと同様に、ロス＝リトルウッドのパラドックスは、無限の数のタスクが順番に完了するスーパータスクの概念上の困難さを説明しようとするものである。 ^[1]この問題はもともと数学者ジョン・E・リトルウッドが1953年の著書『リトルウッド雑学』で記述し、後にシェルドン・ロスが1988年の著書『確率論入門』で拡張した。

問題は、空の花瓶と無限のボールの供給から始まります。次に、無限の数のステップが実行され、各ステップで 10 個のボールが花瓶に追加され、1 個のボールが取り除かれます。次に、次の質問が提示されます。タスクが終了したときに、花瓶にはボールがいくつありますか?

無限の数のステップを完了するには、正午の 1 分前に花瓶が空になっていると仮定し、次の手順を実行する必要があります。

• 最初のステップは正午の30秒前に実行されます。
• 2 番目のステップは正午の 15 秒前に実行されます。
• 後続の各ステップは、前のステップの半分の時間で実行されます。つまり、ステップnは正午の2 ^{− n}分前に実行されます。

これにより、正午までに可算無限数のステップが実行されることが保証されます。後続の各ステップは前のステップの半分の時間がかかるため、1 分が経過するまでに無限数のステップが実行されます。次の質問は、正午に花瓶の中にボールがいくつあるかです。

パズルの答えはいくつかのカテゴリーに分類されます。

最も直感的な答えは、正午までに花瓶には無限の数のボールが入っているということだと思われます。なぜなら、途中の各ステップで、取り除かれるボールよりも追加されるボールの方が多いからです。定義により、各ステップで、ボールの数は前のステップよりも多くなります。実際、ボールの数が前のステップから減るステップはありません。ボールの数が毎回増える場合、無限のステップの後にボールの数は無限になります。

無限にあるボールに番号が付けられていて、ステップ 1 でボール 1 から 10 が花瓶に入れられ、ボール番号 1 が取り出されるとします。ステップ 2 では、ボール 11 から 20 が入れられ、ボール 2 が取り出されます。これは、正午までに、花瓶に挿入されたnというラベルの付いたすべてのボールが、次のステップ (つまり、ステップn ) で最終的に取り出されることを意味します。したがって、正午には花瓶は空です。これは、数学者のアリスとコーツィアーが好む解決法です。正午には花瓶が空であるというこの議論と、花瓶には無限の数のボールがあるはずだというより直感的な答えを並置することで、この問題はロス - リトルウッドのパラドックスと名付けられました。

ロスの確率的バージョンの問題は、ボールが取り出されるたびに、そのボールがその時点で花瓶の中にあるボールの中から一様にランダムに選択されるというケースに除去法を拡張しました。彼はこの場合、正午に特定のボールが花瓶の中に残っている確率は 0 であり、したがってブールの不等式を使用してボールの可算な合計を取ると、正午に花瓶が空である確率は 1 であることを示しました。^[2]

実際、最終的に得られるボールの数は、花瓶からボールを​​取り出す順序によって決まります。前述のように、正午までに花瓶にボールが残らないようにボールを追加したり取り除いたりすることができます。しかし、ステップ 1 でボール番号 10 を花瓶から取り出し、ステップ 2 でボール番号 20 を花瓶から取り出した場合、正午までに花瓶に残るボールの数は無限になることは明らかです。実際、さまざまなステップでどのボールを取り出すかに応じて、以下の手順で示すように、正午までに任意の数のボールを花瓶に入れることができます。これは、哲学者で論理学者のトム・ティモツコと数学者で論理学者のジム・ヘンレが好む解決法です。この解決法は、数学的には、一連の集合の極限劣位を取ることに相当します。

次の手順では、選択したn個のボールを花瓶に残す 方法を正確に説明します。

nは花瓶内のボールの最終的な希望数を表します ( n ≥ 0 )。i
は現在行われている操作の番号を表します ( i ≥ 1 )。

手順：

i = 1から無限大まで:

(10*i - 9)から(10*i)までの番号のボールを花瓶に入れる

i ≤ nの場合、ボール番号 2*i を削除します。

i > nの場合、ボール番号 n + i を削除します。

明らかに、最初のn 個の奇数のボールは取り除かれず、2 n以上のボールはすべて取り除かれます。したがって、花瓶には ちょうどn 個のボールが残ります。

ボールと花瓶の状態は正午より前のどの瞬間でも明確に定義されていますが、正午以降のどの瞬間についても結論を出すことはできません。したがって、正午には花瓶が魔法のように消えるか、何か他のことが起こります。しかし、問題文にはこれについて何も書かれていないので、私たちにはわかりません。したがって、前の解決策と同様に、この解決策は問題が十分に指定されていないことを示していますが、前の解決策とは異なる方法で示されています。この解決策は、数学の哲学者ポール・ベナセラフが支持しています。

この問題の設定が不適切です。正確に言うと、問題文によれば、正午までに無限の数の操作が実行され、正午の状態が問われます。しかし、ゼノンのパラドックスにあるように、正午までに無限の数の操作が（順番に）実行されなければならない場合、正午は決して到達できない時点になります。一方、正午にボールがいくつ残っているかを問うことは、正午に到達すると仮定することです。したがって、問題の文自体に暗黙の矛盾があり、この矛盾は、無限の数のステップを何らかの方法で「完了」できるという仮定です。これは、数学者で哲学者のジャン・ポール・ファン・ベンデゲムが好む解決策です。

• スーパータスク
• トムソンのランプ
• ゼノンのパラドックス
• グランドホテルのヒルベルトのパラドックス

• 「リトルウッドの雑集」（ベーラ・ボロバス編）、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1986年、26ページ。（初版は「数学者の雑集」（ベーラ・ボロバス編、メチューエン社、1953年））
• 「タスク、スーパータスク、そして現代のエレアティックス」、ポール・ベナセラフ、Journal of Philosophy、LIX、1962年、765-784ページ
• 「確率入門」シェルドン・ロス、ニューヨーク：マクミラン、1976年
• 「無限のいくつかのパラドックスについて」、ビクター・アリスとテウニス・クーツィアー、英国科学哲学ジャーナル、第42巻第2号、1991年6月、187～194頁
• 「ロスのパラドックスは不可能な超課題である」、ジャン・ポール・ヴァン・ベンデゲム、英国科学哲学ジャーナル、第45巻第2号、1994年6月、743～748頁
• 「無限の苦痛：スーパータスクの問題点」、J. Earman および JD Norton、S. Stich (編) Paul Benacerraf: The Philosopher and His Critics (ニューヨーク：Blackwell)、1994 年
• 「スウィート・リーズン：現代論理学のフィールドガイド」、トム・ティモツコ、ジム・ヘンレ、フリーマン・プレス、1995年