角直径距離

天文学において、角直径距離は、物体の物理的な大きさと、地球から見たときの 角の大きさで定義される距離です。${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle d_{A}={\frac {x}{\theta }}}$$

角直径距離は、宇宙の想定される宇宙論に依存します。赤方偏移にある物体までの角直径距離は、共動距離で次のよう に表されます。${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$

$${\displaystyle d_{A}={\frac {S_{k}(r)}{1+z}}}$$

ここで、FLRW座標は次のように定義されます。 ${\displaystyle S_{k}(r)}$

$${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}\sin \left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}r\right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}<0\\r&\Omega _{k}=0\\\sinh \left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}r\right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}>0\end{cases}}}$$

ここで、は曲率密度、は現在のハッブルパラメータの値です。 ${\displaystyle \Omega _{k}}$${\displaystyle H_{0}}$

現在好まれている宇宙の幾何学モデルでは、物体の「角直径距離」は「実距離」、つまり光が物体から出たときの 正確な距離にかなり近似しています。

角度サイズ赤方偏移関係は、与えられた物理的サイズの物体の天空上で観測される角度サイズと、その物体の地球からの赤方偏移（地球からの距離 に関係）との関係を表します。ユークリッド幾何学では、天空上のサイズと地球からの距離の関係は、単純に次の式で表されます。 ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \tan \left(\theta \right)={\frac {x}{d}}.}$$

ここで、は天空上の物体の角度の大きさ、は物体の大きさ、は物体までの距離です。が小さい場合、これは次のように近似されます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \theta \approx {\frac {x}{d}}.}$$

しかし、ΛCDM モデルでは、関係はより複雑です。このモデルでは、赤方偏移が約 1.5 を超える天体は、赤方偏移が増加するにつれて空上で大きく見えます。

これは、宇宙がユークリッドであると仮定して、物体が から にあると計算される距離である角直径距離に関連しています。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$

マティグの関係は、 Ω _Λ = 0である宇宙について、赤方偏移zの関数として角直径距離 を導きます。 ^{[1] は、宇宙の膨張率の減速を測定する}減速パラメータの現在の値です。最も単純なモデルでは、 は宇宙が永遠に膨張する場合に対応し、最終的に膨張が停止して収縮する閉じたモデルでは、 は臨界ケース、つまり再収縮することなく無限に膨張できる宇宙に対応します。 ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{0}<0.5}$${\displaystyle q_{0}>0.5}$${\displaystyle q_{0}=0.5}$

$${\displaystyle d_{A}={\cfrac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}{\cfrac {(zq_{0}+(q_{0}-1)({\sqrt {2q_{0}z+1}}-1))}{(1+z)^{2}}}}$$

角直径距離は赤方偏移で最大となり（ΛCDM モデルでは、これは で発生）、 の傾きは、または、で符号が変わります。プロットしたときの見え方に関連して、は転換点と呼ばれることもあります。実際には、これは、赤方偏移が増加するオブジェクト（したがって、ますます遠くにあるオブジェクト）を見ると、赤方偏移が大きいオブジェクトが天空上で広げる角度が までは小さくなり、それを超えると、赤方偏移が大きいオブジェクトが天空上で広げる角度が大きくなります。転換点は、遠いものほど小さく見えるという直感と矛盾するため、逆説的に見えます。 ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle z=z_{t}}$${\displaystyle z_{t}\approx 1.5}$${\displaystyle d_{A}(z)}$${\displaystyle z=z_{t}}$${\displaystyle \partial _{z}d_{A}>0~\forall z<z_{t}}$${\displaystyle \partial _{z}d_{A}<0\forall z>z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle z=z_{t}}$

転換点は、宇宙の膨張と、私たちが遠い銀河を過去の姿で観測しているために発生します。宇宙は膨張しているため、現在は互いに離れている一対の遠方物体は、以前は互いに近かったことになります。光の速度は有限であるため、この一対の物体から私たちに届く光は、それらが互いに近づき、空でより大きな角度に広がったずっと昔に、それらの物体から発せられたに違いありません。したがって、転換点は、宇宙の膨張率（または、光速が一定であると仮定しない場合は、膨張率と光速の関係）について教えてくれます。

• 距離測定
• 標準定規

• iCosmos: 宇宙論計算機 (グラフ生成機能付き)