振幅対オフセット

1919年、カール・ベルンハルト・ツェプリッツは、入射P波に対する平面界面での反射波と屈折波の振幅を、入射角と6つの独立した弾性パラメータの関数として決定する4つの方程式を導出した。 ^{[ 2 ]}これらの方程式には4つの未知数があり、解くことはできるが、反射振幅が岩石の特性によってどのように変化するかについての直感的な理解は得られない。^{[ 3 ]}

P. Richards と C. Frasier ^{[ 4 ] は}、固体-固体界面に入射する P 波の反射係数と透過係数の項を展開し、界面を横切る弾性特性の変化が小さいと仮定することで結果を簡略化しました。そのため、二乗と微分積は十分に小さくなり、ゼロに近づいて除去できます。この形式の式により、密度と P 波または S 波の速度変化が反射振幅に及ぼす影響を確認できます。この近似は、1980 年に K. Aki と P. Richards によって出版された書籍「Quantitative Seismology 」で普及し、それ以来、一般的に Aki and Richards 近似と呼ばれています。^{[ 5 ]}

オストランダーは、AVO効果の実用的な応用を初めて紹介し、頁岩の下にあるガス砂がオフセットによって振幅変化を示すことを示しました。^{[ 6 ]}

シューイは、オストランダーと同様に、ポアソン比が反射係数の角度依存性に最も直接的に関連する弾性特性であると仮定して、方程式をさらに修正した。 ^{[ 3 ]}これにより、3項のシューイ方程式が得られる。^{[ 7 ]}

${\displaystyle R(\theta )=R(0)+G\sin ^{2}\theta +F(\tan ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )}$

どこ

${\displaystyle R(0)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}+{\frac {\Delta \rho }{\rho }}\right)}$

そして

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}-2{\frac {V_{\mathrm {S} }^{2}}{V_{\mathrm {P} }^{2}}}\left({\frac {\Delta \rho }{\rho }}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S} }}{V_{\mathrm {S} }}}\right)}$ ;${\displaystyle F={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}}$

どこ$\displaystyle {\theta }}$＝入射角${\displaystyle {V_{p}}}$= 媒質中のP波速度${\displaystyle {{\Delta }V_{p}}}$= 界面を挟んだP波速度のコントラスト。${\displaystyle {V_{s}}}$= 媒質中のS波速度${\displaystyle {{\Delta }V_{s}}}$= 界面を挟んだS波速度のコントラスト。$\displaystyle {\rho }}$＝媒体中の密度${\displaystyle {{\Delta }{\rho }}}$= 界面を挟んだ密度のコントラスト。

シューイ方程式において、R(0)は垂直入射時の反射係数であり、音響インピーダンスのコントラストによって決まります。GはAVO勾配とも呼ばれ、中間オフセットにおける反射振幅の変化を表し、第3項Fは臨界角に近い大きな角度/遠距離オフセットにおける挙動を表します。この方程式は、入射角が30度未満（つまりオフセットが比較的小さい）であると仮定することでさらに簡略化でき、第3項はゼロに近づきます。これはほとんどの地震探査に当てはまり、「シューイ近似」が得られます。

${\displaystyle R(\theta )=R(0)+G\sin ^{2}\theta }$

これは、AVO分析が石油産業向けの商業ツールとなるために必要な最後の開発であった。^{[ 7 ]}

CMPギャザーが構築され、トレースは同じ往復走時を参照するように調整され、オフセットの増加順に並べられ、特定の時間範囲での各トレースの振幅が抽出されます。2項シューイ近似を思い出し、各トレースの振幅をオフセットのsin^2に対してプロットすると、図に示すように関係が線形になります。線形回帰を使用すると、交差Pと勾配Gという2つのパラメータのみを使用して、反射振幅がオフセットによってどのように変化するかを説明する最適な近似直線を計算できます。

Shuey近似によれば、交点Pはゼロオフセットにおける反射振幅R(0)に対応し、勾配Gは非正規オフセットにおける挙動を表す値であり、AVO勾配として知られています。各CMPギャザーの各時間サンプルについてP（またはR(0)）をGに対してプロットすると、AVOクロスプロットが生成され、さまざまな方法で解釈できます。