ゼープリッツ方程式

地球物理学と反射地震学において、ツォープリッツ方程式は、モード変換による界面での地震波エネルギーの分配を記述する一連の方程式である。この方程式は、 1919年に出版される前に亡くなったドイツの地球物理学者カール・ベルンハルト・ツォープリッツにちなんで名付けられた。^[1]

これらの方程式は、平面の界面に入射するP波の振幅と、反射・屈折したP波とS波の振幅を入射角に関連付けるため、地球物理学において重要です。^{[2]これらは、入射角が変化したときに戻る地震波の振幅に影響を与える要因を調査するための基礎であり、}振幅対オフセット分析 としても知られ、石油貯留層の検出に役立つ技術です。

ゾエプリッツ方程式は、平面界面で反射および屈折した波の振幅を記述した最初の方程式ではありません。 カーギル・ギルストン・ノットは、ほぼ20年前の1899年に、ポテンシャルの観点からのアプローチを使用してノット方程式を導きました。どちらのアプローチも有効ですが、ゾエプリッツのアプローチの方が理解しやすいです。^[2]

ツォエプリッツ方程式は4つの未知数を持つ4つの方程式から構成される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R_{\mathrm {P} }\\R_{\mathrm {S} }\\T_{\mathrm {P} }\\T_{\mathrm {S} }\\\ end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \theta _{1}&-\cos \phi _{1}&\sin \theta _{2}&\cos \phi _{2}\\\cos \theta _{1}&-\sin \phi _{1}&\cos \theta _{2 }&-\sin \phi _{2}\\\sin 2\theta _{1}&{\frac {V_{\mathrm {P1} }}{V_{\mathrm {S1} }}}\cos 2\phi _{1}&{\frac {\rho _{2}V_{\mathrm {S2} }^{2}V_{\mathrm {P1} }}{\rho _{1}V_{\mathrm {S1} }^{2}V_{\mathrm {P2} }}}\sin 2\theta _{2}&{\frac {\rho _{2}V_{\mathrm {S2} }V_{\mathrm {P1} }}{\rho _{1}V_{\mathrm {S1} }^{2}}}\cos 2\phi _{2 }\\-\cos 2\phi _{1}&{\frac {V_{\mathrm {S1} }}{V_{\mathrm {P1} }}}\sin 2\ファイ_{1}&{\frac {\rho _{2}V_{P2}}{\rho _{1}V_{P1}}}\cos 2\phi _{2}&-{\frac {\rho _{2}V_{S2}}{\rho _{1}V_{P1}}}\sin 2\phi _{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\sin \theta _{1}\\\cos \theta _{1}\\\sin 2\theta _{1} \\\cos 2\phi _{1}\\\end{bmatrix}}}$

R _P、R _S、T _P、およびT _Sは、それぞれ反射 P 波、反射 S 波、透過 P 波、および透過 S 波の振幅係数で、= 入射角、= 透過 P 波の角度、= 反射 S 波の角度、= 透過 S 波の角度です。Zoeppritz 方程式の行列形式を反転すると、係数が角度の関数として得られます。 ${\displaystyle {\theta }_{1}}$${\displaystyle {\theta }_{2}}$${\displaystyle {\phi}_{1}}$${\displaystyle {\phi}_{2}}$

4つの方程式は4つの未知数について解くことができますが、反射振幅が関連する岩石特性（密度、速度など）によってどのように変化するかについて直感的に理解することはできません。^[3] Bortfeld（1961）やAki＆Richards（1980）など、Zoeppritz方程式の近似値を開発するいくつかの試みが行われてきましたが、^[4]これらの中で最も成功したのはShueyの方程式であり、これはポアソン比が反射係数の角度依存性に最も直接関連する弾性特性であると仮定しています。

3項シューイ方程式は様々な方法で記述することができるが、以下は一般的な形式である: ^[5]

${\displaystyle R(\theta )=R(0)+G\sin^{2}\theta +F(\tan^{2}\theta -\sin^{2}\theta )}$

どこ

${\displaystyle R(0)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}+{\frac {\Delta \rho }{\rho }}\right)}$

そして

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}-2{\frac {V_{\ mathrm {S} }^{2}}{V_{\mathrm {P} }^{2}}}\left({\frac {\Delta \rho }{\rho }}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S} }}{V_{\mathrm {S} }}}\right)}$ ;${\displaystyle F={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}}$

ここで= 入射角; = 媒質中の P 波速度; = 界面を挟んだ P 波速度コントラスト; = 媒質中の S 波速度; = 界面を挟んだ S 波速度コントラスト; = 媒質中の密度; = 界面を挟んだ密度コントラスト; ${\displaystyle {\theta}}$${\displaystyle {V_{p}}}$${\displaystyle {{\Delta }V_{p}}}$${\displaystyle {V_{s}}}$${\displaystyle {{\Delta }V_{s}}}$${\displaystyle {\rho}}$${\displaystyle {{\Delta }{\rho }}}$

提案された Zoeppritz 方程式のより良い近似:

${\displaystyle R(\theta )=R(0)-A\sin ^{2}\theta }$

そして

${\displaystyle A=2{\frac {V_{\mathrm {S} }^{2}}{V_{\mathrm {P} }^{2}}}\left({\frac {\Delta \rho } {\rho }}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S} }}{V_{\mathrm {S} }}}\right)}$

Shuey 方程式では、R(0) は垂直入射時の反射係数であり、音響インピーダンスのコントラストによって制御されます。G は、AVO 勾配とも呼ばれ、中間オフセットでの反射振幅の変化を表し、3 番目の項 F は臨界角に近い大きな角度/遠方オフセットでの挙動を表します。この方程式は、入射角が 30 度未満 (つまりオフセットが比較的小さい) であると仮定することでさらに簡略化でき、3 番目の項はゼロに近づきます。これはほとんどの地震調査に当てはまり、「Shuey 近似」を与えます。

${\displaystyle R(\theta )=R(0)+G\sin^{2}\theta }$

• 振幅とオフセット、これらの方程式で説明される現象の実際の応用。
• カール・ベルンハルト・ツェプリッツ

これらの方程式の完全な導出は、次のようなほとんどの探査地球物理学の教科書に記載されています。

• Sheriff, RE、Geldart, LP、(1995)、第 2 版。探査地震学。ケンブリッジ大学出版局。

• クルーズ