アレクサンダーの定理

数学において、アレクサンダーの定理は、あらゆる結び目やつながりは閉じた組紐、つまり紐の対応する端が対になって接続された 組紐として表すことができるというものである。この定理は、 1923年に証明を発表したジェームズ・ワデル・アレクサンダー2世にちなんで名付けられた。^[1]

組紐は、アレクサンダーによって結び目理論のツールとして最初に考えられました。彼の定理は、「与えられた結び目を閉じた組紐に変換することは常に可能か？」という疑問に肯定的な答えを与えます。良い構築例は、コリン・アダムスの本にあります。^[2]

しかし、結び目と組紐の対応は明らかに1 対 1 ではありません。結び目には多くの組紐表現がある場合があります。たとえば、共役組紐は同等の結び目を生成します。これにより、2 番目の基本的な質問が発生します。どの閉じた組紐が同じ結び目の種類を表すか? この質問は、同じ結び目を表す任意の 2 つの閉じた組紐を関連付ける「動き」を与えるマルコフの定理で対処されます。

• ソシンスキー、アレクセイ B. (2002)。『結び目：ひねりの効いた数学』ケンブリッジ、マサチューセッツ州：ハーバード大学出版局、p. 17。ISBN 9780674009448. MR  1941191。