アフィングラスマン多様体

数学において、アフィン グラスマン多様体という用語には 2 つの異なる意味があります。1 つは、 R ⁿのすべてのk次元アフィン部分空間の多様体 (このページで説明) であり、もう 1 つは、アフィン グラスマン多様体が形式ローラン級数に基づく群環の商であることです。

有限次元ベクトル空間 Vと非負整数kが与えられたとき、 Graff _k ( V ) はVのすべてのアフィンk次元部分空間の位相空間です。

これは自然な射影p :Graff _k ( V ) → Gr _k ( V )、つまり、 p ( U ) を原点を通る部分空間へのUの変換と定義することにより、 Vのすべてのk次元線形部分空間のグラスマン多様体を持つ。この射影はファイバ化であり、V に内積が与えられている場合、Uを含むファイバはp ( U )の直交補集合と同一視できる。したがって、ファイバはベクトル空間であり、射影p は、 Graff _k ( V ) 上の多様体構造を定義するグラスマン多様体上のベクトル束である。 ${\displaystyle p(U)^{\perp}}$

等質空間として、 n次元ベクトル空間Vのアフィングラスマン多様体は、

${\displaystyle \mathrm {グラフ} _{k}(V)\simeq {\frac {E(n)}{E(k)\times O(nk)}}}$

ここで、E ( n ) はR ⁿのユークリッド群、O( m ) はR ^m上の直交群である。したがって、次元は次のように与えられる。

${\displaystyle \dim \left[\mathrm {Graff} _{k}(V)\right]=(nk)(k+1)\,.}$

（この関係は、係数の数（n − k）（n +1）と方程式に作用する線型群の次元（n − k）²の差として、次のセクションの識別から推測するのが簡単です。）

( x ₁ ,..., x _n )をR ⁿ上の通常の線形座標とする。すると、R ^{n は}アフィン超平面x _{n +1}  = 1としてR ^{n +1}に埋め込まれる。 R ⁿのk次元アフィン部分空間は、平面x _{n +1} = 1に関して一般的な位置にあるR ^{n +1}の( k + 1 ) 次元線形部分空間と 1 対 1 で対応している 。実際、R ⁿのk次元アフィン部分空間は、ランクn  −  kのアフィン方程式系 の解の軌跡である。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}\\&\vdots &\\a_{nk,1}x_{1}+\cdots +a_{nk,n}x_{n}&=a_{nk,n+1}.\end{aligned}}}$

これらはR ^{n +1}上のn − k階の線形方程式系を決定する。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}x_{n+1}\\&\vdots &\\a_{nk,1}x_{1}+\cdots +a_{nk,n}x_{n}&=a_{nk,n+1}x_{n+1}.\end{aligned}}}$

その解は( k  + 1)平面であり、xn+1=1と交差すると元_のk 平面となる。

この同一視により、Gr( k , n )はGr( k  +1,  n +1)のザリスキ開集合となる 。

• クレイン、ダニエル A.; ロータ、ジャンカルロ (1997)、『幾何確率入門』、ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局