数の持続性

数学において、数の持続性とは、ある整数に対して特定の演算を何回適用すれば、その演算によって数値が変化しなくなる固定点に達するかを示すものである。

通常、これは非負整数の加法的または乗法的永続性に関係します。これは、1桁になるまで、その数を桁の和または積で置き換える回数です。数は桁に分解されるため、加法的または乗法的永続性は基数に依存します。この記事の残りの部分では、基数が10であると仮定します。

整数の加法持続性を計算する過程で最終的に到達する1桁の最終状態が、その数値のデジタルルートです。言い換えれば、数値の加法持続性とは、その数値のデジタルルートに到達するために、その数値の各桁を何回足し合わせる必要があるかを数えることです。

 2718 の加法的な持続性は 2 です。まず 2 +  7  +  1  +  8  = 18となり 、次に 1  +  8  = 9 となります。39 の乗法的な持続性は 3 です。39 を 1 桁に減らすには 3 つのステップ (39 → 27 → 14 → 4) が必要だからです。また、39 は乗法的な持続性が 3 である最小の数です。       

10進数では、乗法的な持続性が11を超える数は存在しないと考えられています。これは、2.67×10 ³⁰⁰⁰⁰までの数について真であることが知られています。^{[ 1 ] [ 2 ]}持続性が0、1、2、...である最小の数は次のとおりです。

0、10、25、39、77、679、6788、68889、2677889、26888999、3778888999、277777788888899。 （ OEISのシーケンスA003001）

これらの記録破りの数の十進数の桁の追加特性を利用することで、これらの数の検索を高速化できます。これらの桁は昇順でなければなりません（2 番目の数である 10 を除く）。また、最初の 2 桁を除いて、すべての桁は 7、8、または 9 でなければなりません。最初の 2 桁には追加の制約もあります。これらの制約に基づくと、記録破りの持続性を持つn桁の数の候補の数は、 nの2乗に比例するだけであり、すべての可能なn桁の数のごく一部にすぎません。ただし、上記の数列に含まれていない数は、乗法的な持続性が 11 を超えることになります。そのような数は存在しないと考えられており、存在するとすれば 30,000 桁を超える必要があります。^{[ 1 ]}

• 数の加法性は、その数自身以下であり、等しいのは数がゼロの場合に限られる。
• ベース用${\displaystyle b}$および自然数${\displaystyle k}$そして${\displaystyle n>9}$数字${\displaystyle n}$そして${\displaystyle n\cdot b^{k}}$同じ加算的な持続性を持つ。

数の加法的な持続性についての詳細は、こちらをご覧ください。

しかし、数の加法持続性は任意に大きくなる可能性がある（証明：与えられた数に対して${\displaystyle n}$、数からなる持続性${\displaystyle n}$数字1の繰り返しは、${\displaystyle n}$) 加法持続性の最小値 0、1、2、... は次のとおりです。

0、10、19、199、199999999999999999999999、... （ OEISのシーケンスA006050）

数列の次の数 (加法持続性の最小数 5) は 2  ×  10 ^{2×(10 22  −  1)/9}  −  1 (つまり、1 の後に 22222222222222222222222 9 が続く) です。任意の固定基数に対して、数の各桁の合計は最大でその対数に比例します。したがって、加法持続性は最大で反復対数に比例し、与えられた加法持続性の最小数は4 乗に比例します。

一部の機能では、永続化できる範囲が限られています。

例えば、最小桁数を取る関数では、開始時に1桁の数値を使用するか、1桁の数値までステップするため、永続性は0または1のみとなります。

• ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題（第3 版）.シュプリンガー・フェルラーク. pp. 398–399 . ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 
• Meimaris, Antonios (2015).基数 p における数の加法的持続性について. プレプリント.