生産関数のリスト

これは経済学の文献で使用されている生産関数のリスト です。生産関数は国民生産高と国民所得をモデル化する上で重要な役割を果たします。さまざまな種類の生産関数とその特性、関係性、起源に関するより詳細な議論については、Chambers (1988) ^[1]および Sickles and Zelenyuk (2019、第 6 章) ^{[2]を参照してください。}

以下にリストされている生産関数とその特性は、主に経験的目的のために、資本(K) と労働(L)という 2 つの生産要素の場合に示されています。これらの関数とその特性は、追加の生産要素 (土地、天然資源、起業家精神など) を含めて簡単に一般化できます。

技術（または生産要素の使用効率）を生産関数に組み込む一般的な方法は 3 つあります（ここで、Aはスケール係数、Fは生産関数、Y は生産される物理的出力の量です）。

• ヒックス中立技術、または「因子増強」:${\displaystyle \ Y=AF(K,L)}$
• ハロッド中立技術、または「労働増強」：${\displaystyle \ Y=F(K,AL)}$
• ソロー中立技術、または「資本増強」：${\displaystyle \ Y=F(AK,L)}$

生産要素間の代替弾力性は、ある要素が他の要素にどれだけ容易に置き換えられるかを示す尺度です。生産要素が 2 つ、たとえばKとL の場合、これは生産等量線の曲率の尺度となります。数学的な定義は次のとおりです。

${\displaystyle \ \epsilon =\left[{\frac {\partial (slope)}{\partial (L/K)}}{\frac {L/K}{slope}}\right]^{-1}}$

ここで「傾き」は等量線の傾きを表し、次のように表される。

${\displaystyle \ slope=-{\frac {\partial F(K,L)/\partial K}{\partial F(K,L)/\partial L}}.}$

規模の経済性は

• 規模の経済性の向上: すべての入力使用量を 2 倍にすると、出力も 2 倍以上になります。
• 規模の経済性の低下: すべての入力使用量を 2 倍にしても、出力は 2 倍になりません。
• 規模の一定収穫: すべての入力使用量を 2 倍にすると、出力も正確に 2 倍になります。

• 定常代替弾性（CES）関数：

${\displaystyle Y=A[\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }]^{\frac {1}{\gamma }}}$、 と${\displaystyle \gamma \in [-\infty ,1]}$

これには以下の特殊なケースが含まれます:

• 線形生産（または完全な代替品）

${\displaystyle \ Y=A[\alpha K+(1-\alpha )L]}$いつ${\displaystyle \\gamma =1}$

• コブ・ダグラス生産関数（または不完全補完関数）

${\displaystyle \ Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$いつ${\displaystyle \gamma \to 0}$

• レオンチェフ生産関数（または完全補完関数）

${\displaystyle \ Y={\text{Min}}[K,L]}$いつ${\displaystyle \gamma \to -\infty }$

• Translog 、テイラー多項式によるCESの線形近似${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_ {LK}\ln(L)\ln(K)+b_{KK}\ln ^{2}(K)}$

• ストーン・ギアリーは、コブ・ダグラス生産関数のバリエーションであり、各生産量の閾値要素要件（で表される）の存在を考慮している。${\displaystyle z}$

${\displaystyle Y=A\prod _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^{\alpha _{i}}}$

• 可変代替弾力性生産関数 (VES)

${\displaystyle Y=AK^{av}[L+baK]^{(1-a)v}}$

• 超越生産関数^[3]

${\displaystyle Y=Ae^{a_{1}K+a_{2}L}K^{1-b}L^{b}}$

• 一定限界価値シェア（CMS）

${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }-mL}$

• スピルマン生産関数（この関数は農業経済研究で参照されています）

${\displaystyle y=mA\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{x_{i}}}$

• フォン・リービッヒ生産関数

${\displaystyle Y=\min\{Y^{*},\beta _{1}+\beta _{2}L,\beta _{2}+\beta _{4}K\}}$

ここで、最大収量（容量制限を考慮）です。${\displaystyle Y^{*}}$

• 一般化尾崎（GO）費用関数^[4]（費用関数と生産関数の二重性のため、特定の技術は費用関数または生産関数のどちらでも同様に表現できます^[5]）。

${\displaystyle C(p,y)=\sum _{i}b_{ii}\left(y^{b_{yi}}p_{i}+\sum _{j\,:\,j\neq i}b_{ij}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}y^{b_{y}}\right)}$。

ここで、は単位出力あたりのコスト、単位コスト、、を表します。このコスト関数は、すべての入力に対してのとき、 Diewert ^[6]のよく知られた一般化レオンチェフ関数に簡約されます。${\displaystyle c}$${\displaystyle b_{ij}=b_{ji}}$${\displaystyle \sum _{i}b_{ij}=1}$${\displaystyle b_{yi}=0}$

シェパードの補題を適用することで、入力に対する需要関数を導出します。${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle x_{i}={\partial C \over \partial p_{i}}=b_{ii}y^{b_{yi}}+\textstyle \sum _{i\neq j}^{m}b_{ij}{\sqrt {p_{i}/p_{j}}}y^{b_{y}}}$

ここで、出力単位あたり の入力量を表します。${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$