ヤングの畳み込み不等式

数学において、ヤングの畳み込み不等式は、2つの関数の畳み込みに関する数学的な不等式であり、^[1]ウィリアム・ヘンリー・ヤングにちなんで名付けられました。

実解析では、次の結果はヤングの畳み込み不等式と呼ばれる: ^[2]

がルベーグ空間にあり、がにあり、と共存すると 仮定すると、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}$$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty .}$$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

ここで星印は畳み込み、はルベーグ空間、は 通常のノルムを表します。 ${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}$$${\displaystyle L^{p}}$

同様に、そしてならば ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(xy)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$$

ヤングの畳み込み不等式には、 をユニモジュラ群で置き換える自然な一般化があります。を 上の双不変ハール測度とし、または を積分可能な関数とすると、をで 定義します 。 この場合、ヤングの不等式は、 および に対して となり、 となることを述べています。そのため、 には 境界があります 。 同様に、および であれば となります。 は実際には局所コンパクトアーベル群(したがってユニモジュラ) であり、ルベーグ測度は目的のハール測度であるため、これは実際には一般化です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle G.}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f*g}$$${\displaystyle f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y).}$$${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$$${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.}$$${\displaystyle p,q,r\geq 1}$${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$$${\displaystyle \left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

この一般化は改良できる。および を前と同じようにして、を満たすと仮定する。すると、 および上の任意の測定可能な関数に対して、 となる定数が存在する。これは弱空間に属し、定義により次の上限 が有限であることを意味する。そして^[3]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{q,w}(G,\mu ),}$ $${\displaystyle \|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)}$$${\displaystyle f*g\in L^{r}(G,\mu )}$ $${\displaystyle \|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}.}$$

応用例としては、ヤングの不等式を使用して、熱半群がノルムを使用して収縮半群であることを示すことができます(つまり、ワイエルシュトラス変換はノルムを拡大しません)。 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

ヤングの不等式は、最適ではない定数1を使った基本的な証明がある。^[4]

関数は非負かつ積分可能であり、 は双不変ハール測度を備えたユニモジュラ群であると仮定します。任意の可測に対してという事実を使用します。 したがって、 3 つの関数に対する ヘルダー不等式 により、 が導かれます。 この結論は、ハール測度の左不変性、領域の反転によって積分が保存されるという事実、およびフビニの定理によって導かれます。 ${\displaystyle f,g,h:G\to \mathbb {R} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu .}$${\displaystyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$${\displaystyle S\subseteq G.}$${\textstyle p(2-{\tfrac {1}{q}}-{\tfrac {1}{r}})=q(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1 }{r}})=r(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{q}})=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int _{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.\end{aligned}}}$$

ヤングの不等式は補間によっても証明できます。証明については、 リース-ソーリン補間に関する記事を参照してください。

ヤングの不等式を、定数^{[5] [6] [7]}を介して鋭い形に強化できる 場合、 この最適定数が達成されると、関数およびは多次元ガウス関数になります。 ${\displaystyle p,q>1,}$$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$${\displaystyle c_{p,q}<1.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

• ミンコフスキー不等式– L ^p空間がノルムベクトル空間である ことを証明する不等式

• Bahouri, ハジェル州;ジャン・イヴ・シュマン;ダンチン、ラファエル (2011)。フーリエ解析と非線形偏微分方程式。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 343. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー。ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128.

• ProofWiki の畳み込みに関するヤングの不等式