収量（メートル法）

集積回路の信頼性工学において、歩留まりとは、半導体製造プロセスのばらつきにもかかわらず、要求される性能仕様を満たす製造済みチップの割合を定量化するために使用される指標です。現代の半導体製造では、歩留まりはチップ製品のコストに直接影響を与えます。そのため、回路設計者にとって、設計段階で歩留まりを正確に推定し、可能な限り改善することが極めて重要です。この要求により、この分野では歩留まり推定と歩留まり最適化という2つの中心的な問題が生じています。

半導体技術がナノメートル領域まで縮小し、デバイスの物理的限界に近づくにつれて、ドーピング変動、ダイ内ミスマッチ、しきい値電圧変動などのプロセス変動が回路性能に及ぼす影響がますます大きくなっています。^{[ 1 ]}これらの変動により、製造されたチップが公称設計仕様を満たせなくなる可能性があり、これは特にアナログおよびミックスドシグナルCMOS回路で顕著です。^{[ 2 ] [ 3 ]}プロセス変動に対するチップの堅牢性を定量的に記述するために、歩留まりの概念が導入されました。これは、そのような変動にもかかわらず設計仕様を満たす回路の割合を指します。したがって、回路設計者は、公称性能の向上だけでなく、歩留まりの最適化も考慮する必要があります。

このセクションでは、回路の収束の正式な定義を示します。${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d_{x}}]^{T}\in {\mathcal {X}}}$は設計者によって制御される設計パラメータ（例えばトランジスタの長さと幅）を表し、${\displaystyle {\mathcal {X}}}$実現可能な設計空間を定義する。また、製造プロセスの変動は、確率変数によって完全に捉えられると仮定する。${\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{d_{v}}]^{T}\in {\mathcal {V}}}$一般性を失うことなく、変分パラメータ（プロセスパラメータとも呼ばれる）は、標準正規分布としてモデル化されることが多い。^{[ 4 ]}

${\displaystyle p(\mathbf {v} )={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {v} ^{\top }\mathbf {v} \right)}$

回路性能${\displaystyle m_{k}}$設計パラメータと変動パラメータの両方によって決定され、決定論的関数としてモデル化できる。${\displaystyle z_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}$すべての性能仕様が満たされている場合、回路は合格とみなされます。これを形式化するために、特定の回路インスタンスがすべての必須仕様を満たしているかどうかを判断するためのインジケータ関数が定義されています。^{[ 5 ]}

${\displaystyle I(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\begin{cases}1&{\text{if }}z_{k}\leq z_{k}^{0}{\text{ for all }}k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle z_{k}^{0}}$は${\displaystyle k}$第 1 番目の性能仕様。特定の設計の場合${\displaystyle \mathbf {x} }$歩留まりとは、製造された回路が製造工程のばらつきの下で全ての設計仕様を満たす確率として定義され、数学的には次のように定式化される。

${\displaystyle g(\mathbf {x} )\triangleq \mathbb {E} (I(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ))=\int _{\mathcal {V}}I(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )p(\mathbf {v} )d\mathbf {v} }$

一部の文献では、^{[ 4 ]}便宜上、故障率${\displaystyle P_{f}(\mathbf {x} )}$は、収量の等価表現としてよく用いられ、次のようになります。

${\displaystyle P_{f}(\mathbf {x} )+g(\mathbf {x} )=1}$

収量推定問題とは、収量値を正確に推定する方法に関する問題である。${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$特に高次元回路の場合、 シミュレーションコストを最小限に抑える。主な課題は、${\displaystyle f_{k}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}$時間のかかる回路シミュレーションによってのみ評価できる。結果として、歩留まり関数は${\displaystyle g(\mathbf {v} )}$閉形式の式は存在しないため、数値的手法を用いて推定する必要がある。

現在、歩留まり推定の業界標準はモンテカルロ（MC）法であり、歩留まりを次のように近似します。^{[ 6 ]}

${\displaystyle g(\mathbf {x} )\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}I(\mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i})}$

どこ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{i}\}_{i=1}^{N}}$真に独立かつ同一の分布に従うサンプルは、分布から抽出されたものである。${\displaystyle p(\mathbf {v} )}$MC法の主な欠点は、その非効率性にある。実際には、歩留まり目標は非常に高いことが多く、ごく一部のサンプルのみが仕様に違反するという稀な事象の状況になる。したがって、統計的に正確な歩留まり推定値を得るには、多数のシミュレーションが必要となる。例えば、故障率を推定する場合、$10^{-5}}$約$10^7$10%の相対誤差のシミュレーションには数時間かかる場合があります。^{[ 7 ]}

収量推定の効率を向上させるには、必要なシミュレーション回数を減らすか、各シミュレーションのコストを下げるかのいずれかの方法がある。これらの2つの戦略は、それぞれ重点サンプリングとサロゲートモデリングという2つの主要な最適化手法に対応する。

重点サンプリングは、修正された確率分布からサンプリングすることで効率を高める。${\displaystyle q(\mathbf {v} )}$これにより、まれな故障サンプルの頻度が増加します。^{[ 8 ]}

${\displaystyle g(\mathbf {x} )=\int _{\mathcal {V}}I(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )p(\mathbf {v} )d\mathbf {v} =\int _{\mathcal {V}}I(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ){\frac {p(\mathbf {v} )}{q(\mathbf {v} )}}q(\mathbf {v} )d\mathbf {v} \approx {\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{M}I(\mathbf {x} ,\mathbf {v} '_{i}){\frac {p(\mathbf {v} '_{i})}{q(\mathbf {v} '_{私}）}}}$

どこ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{i}'\}_{i=1}^{M}}$は、分布から抽出された独立かつ同一の分布に従うサンプルである。${\displaystyle q(\mathbf {v} )}$適切な提案配布を慎重に設計することで${\displaystyle q(\mathbf {v} )}$重要度サンプリングでは、シミュレーションを大幅に減らして十分な故障サンプルを取得できるため、正確な歩留まり推定が可能になります（${\displaystyle M\ll N}$)

サロゲートモデリングは、データ駆動型の機械学習モデルを使用して回路シミュレータの動作を近似します。サロゲートが十分に正確になれば、高価なシミュレーションの低コストな代替として使用でき、計算オーバーヘッドを大幅に削減できます。一般的なサロゲートモデルには、ガウス過程 (GP) ^{[ 1 ]} 、条件付き正規化フロー (CNF) ^{[ 9 ]}、低ランクテンソル近似^{[ 10 ]} 、ベイジアンニューラルネットワーク^{[ 11 ]}、および放射基底関数ネットワーク^{[ 12 ]}などがあります。

多くの研究が正確な歩留まり推定に焦点を当ててきたが、回路設計者にとっての究極の目標は効率的な歩留まり最適化である。歩留まり最適化は、高価なシミュレーションの数を最小限に抑えつつ、歩留まりを最大化する最適な設計パラメータを効率的に探索することを目的としている。^{[ 13 ]}

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=\arg \max _{\mathbf {x} \in {\mathcal {X}}}g(\mathbf {x} )}$

収率最適化における主な課題は、収率関数が${\displaystyle g(\mathbf {v} )}$閉形式の表現がなく、勾配情報も利用できないため、勾配ベースの最適化手法は適用できません。^{[ 1 ]}そのため、収量最適化にはブラックボックス最適化アルゴリズムが一般的に選択され、特にベイズ最適化^{[ 14 ]は大きな注目を集めています。}

ベイズ収量最適化では、GPを使用して収量と設計パラメータの関係をモデル化します。各最適化反復では、獲得関数を最大化して、次に評価する設計パラメータを決定します。この時点で収量は収量推定アルゴリズムを使用して推定され、GPモデルがそれに応じて更新されます。満足のいく設計が特定されるか、事前に定義されたシミュレーション予算が使い果たされるまで、最適化は反復的に続きます。^{[ 15 ]}

さらに、いくつかの研究では、歩留まり最適化を実行するために、差分進化（DE）などの代替ブラックボックス最適化アルゴリズムが検討されている。^{[ 12 ]}