ウォルドの定理

統計学において、ヘルマン・ウォルドにちなんで名付けられたウォルド分解またはウォルド表現定理（ウィーナー・ヒンチン定理の離散時間版であるウォルド定理と混同しないように注意）は、共分散定常時系列はすべて、決定論的時系列と確率的時系列の 2 つの時系列の和として表すことができるというものです。 ${\displaystyle Y_{t}}$

正式には

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{tj}+\eta _{t},}$

どこ：

• ${\displaystyle Y_{t}}$検討されている時系列は、

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$は、プロセスに対するイノベーションプロセスである無相関シーケンスです。つまり、線形フィルタに入力されるホワイトノイズプロセスです。${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \{b_{j}\}}$

• ${\displaystyle b}$移動平均重み（係数またはパラメータ）の無限ベクトルである可能性がある。

• ${\displaystyle \eta_{t}}$は、過去の値の線形結合として完全に決定されるという意味で、「決定論的」時系列です（たとえば、Anderson（1971）Ch. 7、Section 7.6.3、pp. 420-421を参照）。 の正弦波/余弦波などの「決定論的項」が含まれる場合もありますが、確率過程であり、共分散定常でもあるため、定常性を破る任意の決定論的過程にはなり得ません。${\displaystyle t}$

移動平均係数には次の特性があります。

1. 安定、つまり平方和可能<${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$${\displaystyle \infty}$
2. 因果関係がある（つまり、 j < 0となる項はない）
3. 最小遅延^{[説明が必要]}
4. 定数（tに依存しない）${\displaystyle b_{j}}$
5. 定義するのは慣例である${\displaystyle b_{0}=1}$

この定理は存在定理と考えることができます。つまり、定常プロセスはどれもこの一見特別な表現を持ちます。このような単純な線形で正確な表現が存在すること自体が注目に値しますが、移動平均モデルの特殊性はさらに注目に値します。移動平均でありながら、これらの特性 1 ～ 4 を満たさないプロセスを作成することを想像してください。たとえば、係数は非因果的で非最小遅延^{[明確化が必要]}モデルを定義できます。それでも、定理は、このプロセスを正確に表す因果的な最小遅延移動平均^{[明確化が必要]}の存在を保証します。因果関係と最小遅延特性の場合にこれがどのように機能するかについては、Wold 分解の拡張について説明されている Scargle (1981) で説明されています。 ${\displaystyle b_{j}}$

ウォルドの定理の有用性は、変数の動的な変化を線型モデルで近似できることである。イノベーションが独立している場合、線型モデルは、 の観測値とその過去の変化を関連付ける唯一の可能な表現である。しかし、 が単に無相関だが独立ではないシーケンスである場合、線型モデルは存在するが、系列の動的な依存性の唯一の表現ではない。この後者の場合、線型モデルがあまり有用でない可能性があり、 の観測値とその過去の変化を関連付ける非線型モデルが存在することになる。しかし、実際の時系列分析では、単純さを理由に、線型予測子のみが考慮されることが多く、その場合にはウォルド分解が直接関係する。 ${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$

ウォルド表現は無数のパラメータに依存しますが、実際にはこれらのパラメータは通常急速に減少します。自己回帰モデルは、対応する移動平均に多くの係数がある場合でも、係数を少数しか持たない代替モデルです。これら 2 つのモデルは、自己回帰移動平均 (ARMA) モデルに、または非定常性が関係する場合は自己回帰積分移動平均 (ARIMA) モデルに組み合わせることができます。Scargle (1981) とその参考文献を参照してください。さらに、この論文では、ウォルド定理の拡張を示しており、移動平均の一般性 (必ずしも安定、因果関係、または最小遅延ではない) を高め、イノベーションのより明確な特徴付け (単に無相関であるだけでなく、同一かつ独立に分布している) を可能にしています。この拡張により、物理的または天体物理学的プロセスに忠実なモデル、特に「時間の矢」を感知できるモデルが可能になります。

• アンダーソン、TW (1971)。時系列の統計分析。ワイリー。
• Nerlove, M. ; Grether, David M.; Carvalho, José L. (1995).経済時系列分析（改訂版）. サンディエゴ: アカデミック プレス. pp. 30–36. ISBN 0-12-515751-7。
• Scargle, JD (1981)。天文学的時系列解析の研究。I – 時間領域におけるランダムプロセスのモデリング。天体物理学ジャーナル補足シリーズ。第 45 巻。pp. 1–71。
• Wold, H. (1954) 『定常時系列の分析に関する研究』、第 2 版、 Peter Whittle著「時系列分析の最近の発展」に関する付録付き。Almqvist and Wiksell Book Co.、ウプサラ。