ウィズマン収束

ウィズマン収束は、ハウスドルフ収束の変形であり、非有界集合を扱うのに適しています。直感的には、ウィズマン収束はハウスドルフ計量における収束に相当し、点ごとの収束は一様収束に相当します。

収束はロバート・ウィズマンによって定義されました。^[1] 同じ定義は以前にズデネック・フロリックによって使用されていました。^[2] さらに以前に、ハウスドルフは著書「人文理論の基礎」でいわゆる閉極限を定義しました。これは適切な距離空間ではウィズマン収束と同じです。

( X ,  d ) を距離空間とし、 Cl( X ) をXのすべてのd閉部分集合の集合とする。点x  ∈  Xと集合A  ∈ Cl( X ) に対して、

${\displaystyle d(x,A)=\inf _{a\in A}d(x,a).}$

集合A _i  ∈ Cl( X ) の列（またはネット）がA  ∈ Cl( X )にウィズマン収束するとは、各x  ∈  Xに対して、

${\displaystyle d(x,A_{i})\to d(x,A).}$

ウィズマン収束はCl( X )上にウィズマン位相と呼ばれる位相を誘導する。

• Wijsman トポロジーはメトリックdに非常に強く依存します。2 つのメトリックが均一に等しい場合でも、異なる Wijsman トポロジーが生成される場合があります。
• ビールの定理: ( X ,  d ) が完全な可分距離空間である場合、Wijsman 位相を持つCl( X ) はポーランド空間、つまり、完全な距離で可分かつ距離化可能である。
• ウィズマン位相を持つCl( X ) は常にチコノフ空間である。さらに、レヴィ＝レチッキ定理が成り立つ。つまり、( X ,  d ) が分離可能であるのは、 Cl( X ) が距離化可能、第一可算、または第二可算である場合に限る。
• ウィズマン収束の各点収束を一様収束（ xに関して一様）に置き換えると、ハウスドルフ収束が得られる。ハウスドルフ計量は次のように与えられる。

${\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\sup _{x\in X}{\big |}d(x,A)-d(x,B){\big |}.}$

Cl( X )上のハウスドルフ位相とワイスマン位相は、( X ,  d )が全有界空間である場合にのみ一致する。

• ハウスドルフ距離
• クラトフスキー収束
• ヴィエトリス位相幾何学
• 半連続性

注記

文献

• ビア、ジェラルド (1993)。閉集合と閉凸集合上の位相。数学とその応用 268。ドルドレヒト: クルーワー アカデミック パブリッシャーズ グループ。pp. xii+ 340。ISBN 0-7923-2531-1。 MR1269778​
• ビア、ジェラルド (1994)。「ウィズマン収束：概観」。セット値アナル。2 (1–2): 77–94。doi :10.1007/BF01027094 。 MR1285822​

• ソム・ナインパリ (2001) [1994]、「ウィズマン収束」、数学百科事典、EMS プレス