ウェルチ境界

数学において、ウェルチ境界は、ベクトル空間に単位ベクトルの集合を均等に広げる問題に関連する不等式のファミリーです。この境界は、通信工学、特に符号理論における特定の手法の設計と分析において重要なツールです。この境界は、1974年にLRウェルチによって論文として最初に発表されました。^[1]

が の単位ベクトルである場合、 を定義します。ここで はの通常の内積です。すると、 に対して次の不等式が成り立ちます。ウェルチ境界は、ベクトルの集合間の平均二乗重なりによって表されることもあります。この場合、不等式は次のようになります^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle c_{\max }=\max _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$$${\displaystyle (c_{\max})^{2k}\geq {\frac {1}{m-1}}\left[{\frac {m}{\binom {n+k-1}{k}}}-1\right].}$$$${\displaystyle {\frac {1}{m^{2}}}\sum _{i,j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2k} \geq {\frac {1}{\binom {n+k-1}{k}}}.}$$

の場合、ベクトルはにおいて正規直交集合を形成できます。この場合、および の境界は空です。したがって、境界の解釈は の場合にのみ意味を持ちます。この記事の残りの部分では、これが前提となります。 ${\displaystyle m\leq n}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle c_{\max}=0}$${\displaystyle m>n}$

に対応する「第一ウェルチ境界」は、これまでのところ、応用において最も一般的に使用されている。その証明は2つのステップで進み、それぞれのステップはより基本的な数学的不等式に依存する。最初のステップでは、コーシー・シュワルツ不等式を呼び出し、ベクトル のグラム行列を考慮することから始まります。つまり、 ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$

${\displaystyle G=\left[{\begin{array}{ccc}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\cdots &\langle x_{1},x_{m}\rangle \\\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{m},x_{1}\rangle &\cdots &\langle x_{m},x_{m}\rangle \end{array}}\right]}$

のトレースはその固有値の合計に等しい。の階数は最大で、半正定値行列であるため、 は最大で正の固有値を持ち、残りの固有値はすべてゼロである。 の非ゼロの固有値をのように書き、これらの固有値を成分とするベクトルと 1 の -ベクトル の内積にコーシー・シュワルツ不等式を適用すると、次のようになる。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}}$${\displaystyle r\leq n}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle (\mathrm {Tr} \;G)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\right)^{2}\leq r\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}^{2}\leq n\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}}$

のフロベニウスノルム（ヒルベルト・シュミットノルム）の2乗は ${\displaystyle G}$

${\displaystyle ||G||^{2}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\ラングル |^{2}=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}}$

これを前述の不等式と合わせると、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\ frac {(\mathrm {Tr} \;G)^{2}}{n}}}$

それぞれが単位長さなので、 の主対角線上の要素は1 となり、したがってそのトレースは となる。したがって、 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Tr} \;G=m}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}=m+\sum _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\frac {m^{2}}{n}}}$

または

${\displaystyle \sum _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\frac {m(mn)}{n}}}$

証明の2番目の部分では、非負数の集合の平均はその集合内の最大の数より大きくなることはないという単純な観察を含む不等式が使われている。数学的記法では、に対して であれば、 ${\displaystyle a_{\ell}\geq 0}$${\displaystyle \ell =1,\ldots ,L}$

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\sum _{\ell =1}^{L}a_{\ell }\leq \max a_{\ell }}$

前の式には、合計に非負の項があり、その最大のものは です。したがって、 ${\displaystyle m(m-1)}$${\displaystyle c_{\max }^{2}}$

${\displaystyle (c_{\max })^{2}\geq {\frac {1}{m(m-1)}}\sum _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\frac {m-n}{n(m-1)}}}$

または

${\displaystyle (c_{\max })^{2}\geq {\frac {m-n}{n(m-1)}}}$

これはまさに、 の場合にウェルチによって与えられた不等式です。 ${\displaystyle k=1}$

特定の通信アプリケーションでは、ウェルチ境界を等しく満たすベクトルのセットを構築することが望ましいです。境界を満たすいわゆるウェルチ境界等価性(WBE) ベクトルのセットを取得するために、いくつかの手法が導入されています。 ${\displaystyle k=1}$

上記の証明は、 のとき、2 つの別々の数学的不等式がウェルチ境界に組み込まれていることを示しています。コーシー・シュワルツの不等式は、関係する 2 つのベクトルが共線である場合に等式を満たします。上記の証明で使用されている方法では、これはグラム行列の非ゼロの固有値がすべて等しいときに発生し、これはベクトルが のタイトフレームを構成するときに正確に発生します。 ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

証明における他の不等式は、が のどの選択に対しても同じである場合に限り、等式を満たします。この場合、ベクトルは等角です。したがって、このウェルチ境界は、ベクトルの集合がにおける等角タイトフレームである場合に限り、等式を満たします。 ${\displaystyle |\langle x_{i},x_{j}\rangle |}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

同様に、平均二乗重なりで表現されたウェルチの境界は、ベクトルの集合が複素射影空間における -デザインである場合にのみ、すべてに対して飽和する。^[4]${\displaystyle k\leq t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-1}}$

• 球形デザイン
• 量子Tデザイン
• 等角線