ウォッシュバーンの方程式

物理学において、ウォッシュバーンの方程式は、平行な円筒管の束における毛細管流動を記述するものであり、いくつかの問題を伴い多孔質材料への浸透にも拡張されている。この方程式はエドワード・ワイト・ウォッシュバーンにちなんで名付けられた。^{[1]リチャード・ルーカス[2]}が3年前に同様の論文を書いたことからルーカス・ウォッシュバーン方程式とも呼ばれる。または、1906年にJMベルとFKキャメロンが方程式の形を発見したことからベル・キャメロン・ルーカス・ウォッシュバーン方程式とも呼ばれる。^[3]

最も一般的な形式では、ルーカス・ウォッシュバーンの式は、液体が毛細管の細孔または管に浸透する長さ ( ) を時間とともに と表します。ここで、 は簡略化された拡散係数です。^[4]さまざまな状況に当てはまるこの関係は、ルーカスとウォッシュバーンの式の本質を捉えており、多孔質構造を通る毛細管浸透と流体輸送が、多くの物理および化学システムで発生する拡散挙動に似た挙動を示すことを示しています。拡散係数は、浸透する流体の特性だけでなく、毛細管の形状によっても決まります。動的粘性と表面張力を持つ液体は、細孔半径が次の関係に従う 距離だけ毛細管に浸透します。${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L=(Dt)^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta}$ ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle L}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle L={\sqrt {\frac {\gamma rt\cos(\phi )}{2\eta }}}}$

浸透する液体と固体（管壁）の間の接触角は どこ ですか。${\displaystyle \phi}$

ウォッシュバーンの式は、力張力計を使用して液体と粉体の接触角を決定するためにもよく使用されます。^[5]

多孔質材料の場合、計算された細孔半径の物理的意味^[6]と、この式を固体の接触角の計算に使用できるかどうかについて多くの問題が提起されている^{[7] 。この式は、}重力場 がない場合の円筒管内の毛細管流に対して導出されたものであるが、毛細管力が重力よりも大幅に大きい場合、多くの場合、十分な精度がある。 ${\displaystyle r}$

1921年の論文でウォッシュバーンは、円管内の流体の運動にポアズイユの法則を適用した。管内の流体の長さに対する差分体積の式を代入すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle dV=\pi r^{2}dl}$

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum P}{8r^{2}\etal l}}(r^{4}+4\epsilon r^{ 3})}$

ここで、は大気圧、静水圧、毛細管力による等価圧力などの関係する圧力の合計です。は液体の粘度、 は滑り係数で、濡れた材料の場合は 0 と仮定されます。は毛細管の半径です。圧力は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \sum P}$${\displaystyle P_{A}}$${\displaystyle P_{h}}$${\displaystyle P_{c}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle P_{h}=hg\rho -lg\rho \sin \psi }$

${\displaystyle P_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi }$

ここで、は液体の密度、は表面張力です。は水平軸に対するチューブの角度です。は毛細管材料に対する液体の接触角です。 これらの式を代入すると、流体がチューブに浸透する距離を表す一次微分方程式が得られます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle l}$

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[P_{A}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}}$

ウォッシュバーン定数はウォッシュバーンの方程式に含まれる場合があります。

計算方法は以下の通り。

${\displaystyle {\frac {10^{4}\left[\mathrm {\frac {\mu m}{cm}} \right]\left[\mathrm {\frac {N}{m^{2}}} \right]}{68947.6\left[\mathrm {\frac {dynes}{cm^{2}}} \right]}}=0.1450(38)}$^{[8] [9]}

ウォッシュバーンの方程式の導出では、液体の慣性は無視できるほど小さいとされている。これは長さの時間の平方根への依存性に明らかであり、tの値が小さい場合、任意の大きな速度dL/dtが得られる。ウォッシュバーンの方程式の改良版であるボサンケット方程式は、液体の慣性を考慮に入れている。^[10]${\displaystyle L}$${\displaystyle L\propto {\sqrt {t}}}$

液体が自身の毛細管圧力によって流れる基質への浸透は、ウォッシュバーンの式の簡略版を使用して計算できます。^{[11] [12]}

${\displaystyle l=\left[{\frac {r\cos \theta }{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}}$

ここで、表面張力と粘度の比は、インクが基板に浸透する速度を表します。実際には、溶媒の蒸発により多孔質層への液体の浸透範囲が制限されるため、インクジェット印刷の物理現象を意味のある形でモデル化するには、限られた毛細管浸透における蒸発効果を考慮したモデルを利用するのが適切です。 ${\displaystyle \left[{\tfrac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}}$

物理学者でイグ・ノーベル賞受賞者のレン・フィッシャーによると、ワッシュバーンの式はビスケットを含むより複雑な材料に対して非常に正確である可能性があるとのことです。^{[13] [14]全国ビスケット浸しの日と呼ばれる非公式の祝賀行事の後、いくつかの新聞記事ではこの式を}フィッシャーの式 として引用しました。^[15]

従来の毛細管ポンプの流動挙動はワッシュバーンの式に従います。最近、液体の粘度に左右されない一定のポンピング流量を持つ新しい毛細管ポンプ^{[16] [17] [18] [19]}が開発されました。これは従来の毛細管ポンプ（流動挙動はワッシュバーン挙動、つまり流量が一定ではない）に比べて大きな利点があります。これらの新しい毛細管ポンプの概念は、ラテラルフローテストの性能を向上させる大きな可能性を秘めています。

• ボサンケット方程式
• 水銀圧入ポロシメトリー（MIP）

• ウォッシュバーン法による粉体濡れ性測定