フォン・ノイマンの定理

数学において、フォン・ノイマンの定理は、ヒルベルト空間上の線型作用素の作用素理論の結果である。

とをヒルベルト空間とし、を から への非有界演算子とする。が閉じた演算子であり、 が稠密に定義されている、つまり が で稠密であるとする。が の随伴を表すとすると、も稠密に定義され、 は自己随伴である。つまり であり 、右辺と左辺の演算子は^{[1]で同じ稠密な定義域を持つ。}${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T:\operatorname {dom} (T)\subseteq G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \operatorname {dom} (T)}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle T^{*}:\operatorname {dom} \left(T^{*}\right)\subseteq H\to G}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle T^{*}T}$$${\displaystyle \left(T^{*}T\right)^{*}=T^{*}T}$$${\displaystyle G.}$